УДК 160
ББК 87.4
А 72

Р е ц е н з е н т ы:
зав. кафедрой правоведения Нижегородского государственного
архитектурно-строительного университета, доктор философских наук,
профессор Г.П. Корнев;
зав. кафедрой алгебры и математической логики
Тверского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор А.В. Чагров

Антаков С.М.

А 72 Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2012. – 174 с.
ISBN 978-5-91326-209-7

В настоящем учебном пособии впервые в истории классической (философской) логики её основное содержание (теория понятия, суждения и умозаключения) получает логическую форму, то есть излагается в соответствии с формальным критерием теоретических наук, причём на собственных, а не чуждых ей, основаниях. Это позволяет лучшим образом разъяснить основные идеи и методы логики, входящие в учебную программу дисциплины. Пособие содержит подробные указания, необходимые для решения учебных логических задач.

Книга предназначена для студентов гуманитарных специальностей ННГУ им. Н.И. Лобачевского, изучающих логику. Она может быть с успехом использована и для самообразования.

Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии факультета социальных наук, кандидат социологических наук, доцент Петрова И.Э.

УДК 160
ББК 87.4
(С) С.М. Антаков, 2012
(С) Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие для тех, кто начинает учиться или учит логике 3
Предисловие для тех, кто продвинулся в изучении логики 6
I. Историческое введение 12
§ 1. Возникновение западной логической традиции 12
§ 2. Развитие логики после Аристотеля. История логического образования 15
§ 3. Логическая дисциплина и значение логики 18
II. Основания классической логики 22
§ 4. Предмет и метод логики. Логическая материя предмета 22
§ 5. Логическая форма. Материализация и формализация 25
§ 6. *Монада и диада. Аксиома диады 27
§ 7. *Конверсия диады 30
§ 8. *Триада. Аксиома триады 33
§ 9. *Модальные аксиомы и схемы триад. Практически логическое применение аксиом триады 36
§ 10. Логические действия с предметами (сложение, умножение и отрицание) 37
§ 11. **Изображение логических действий с предметами на диаграмме (метод штриховки). Пустой предмет 39
Контрольные вопросы и задачи к § 11 41
§ 12. *Логические законы для предметов 42
§ 13. *Конституенты 44
§ 14. *Теоремы о конституентах 46
§ 15. Основания логики (протологика) и логика. Гносеологический дуализм и его логические следствия 48
§ 16. Понятие, суждение и умозаключение как предметы логики 49
III. Понятие 53
§ 17. Понятие, его предмет и термин 53
§ 18. Математическое количество понятия. Виды понятия 54
§ 19. Логическое количество понятия 56
§ 20. Диаграмма Эйлера. Изображение двух понятий 57
§ 21. **Объёмные отношения между общими понятиями 59
Контрольные вопросы и задачи к § 21 61
§ 22. Синонимия и омонимия понятий. Совершенный и практичный языки 62
§ 23. Сложение, умножение и контрадикторное отрицание понятий 63
§ 24. Контрарное отрицание понятия. Виды несовместимых понятий 65
§ 25. Свойство предмета и признак понятия. Собственный и общий признаки 67
§ 26. Частный, два отрицательных и смежный признаки. Содержание понятия 68
§ 27. Обобщение и ограничение понятия 70
§ 28. Определение понятия 72
§ 29. Адекватность (точность) определения 73
§ 30. Отрицательное определение 74
§ 31. Уместность определения 76
§ 32. Деление понятия 77
§ 33. Виды и основание деления понятия 78
§ 34. Точность деления понятия 79
IV. Простое суждение 81
§ 35. Простое категорическое суждение. Перевод описаний диад на языки логики 81
§ 36. Синтаксические части простого категорического предложения 83
§ 37. Качество и логическое количество простого категорического суждения. Математическое количество простого категорического суждения 84
§ 38. Четыре формы простого категорического предложения, определяемые его количеством и качеством 86
§ 39. Предмет, материя и форма простого категорического предложения 89
§ 40. **Правила поиска материи и формы данного простого предложения 90
Контрольные вопросы и задачи к § 40 92
§ 41. Истинность предложения 92
§ 42. Истинность предложения в логиках Аристотеля и Васильева. Соглашение (аксиома) аристотелевской логики 94
§ 43. Инверсия формулы суждения 95
§ 44. Конверсия предложения 96
V. Основные законы классической логики 101
§ 45. Сравнимые предложения. Зависимость их истинности от формы их предмета 101
§ 46. Взаимозависимость истинности сравнимых предложений 103
§ 47. Схемы взаимозависимости истинности сравнимых предложений 103
§ 48. Совместимость сравнимых предложений 105
§ 49. Противоположность сравнимых предложений 105
§ 50. Законы непротиворечия и исключённого третьего в логике Аристотеля 108
§ 51. Законы непротиворечия и исключённого четвёртого в логике Васильева 110
§ 52. Логическое противоречие и его виды 111
§ 53. Логический закон тождества 113
VI. Простое умозаключение 115
§ 54. Простое умозаключение и силлогизм. Части умозаключения 115
§ 55. Материя и форма умозаключения. Его значение 116
§ 56. Формальная истинность (правильность) умозаключения 117
§ 57. Значение неправильного умозаключения 118
§ 58. Дедуктивное и недедуктивное умозаключения 118
§ 59. Непосредственное умозаключение 120
§ 60. Простое категорическое умозаключение и его материя 121
§ 61. Части и форма простого категорического умозаключения 122
§ 62. Фигуры силлогизма 124
§ 63. Модусы простого категорического силлогизма. Их перечисление 125
§ 64. **Правила поиска материи и формы данного простого категорического силлогизма 126
Контрольные вопросы и задачи к § 64 128
§ 65. **Правила проверки модусов простого категорического силлогизма с помощью диаграмм 128
Контрольные вопросы и задачи к § 65 132
§ 66. Правильные модусы в логиках Васильева и Аристотеля 133
§ 67. Энтимема. Её значение и условия корректности 136
§ 68. **Правила восстановления и проверки энтимемы 138
Контрольные вопросы и задачи к § 68 140
VII. Сложное суждение 142
§ 69. **Сложное суждение. Его материя и форма. Таблица истинности 142
§ 70. **Негация, конъюнкция и дизъюнкция суждений. Разделительное суждение 143
§ 71. **Эквиваленция и импликация суждений. Условное суждение 146
§ 72. **Построение сложного предложения из простых. Дерево предложения 149
§ 73. **Построение таблицы истинности сложного предложения 151
§ 74. **Виды формальной истинности сложного предложения 153
Контрольные вопросы и задачи к §§ 69-74 154
§ 75. Равносильные предложения 154
VIII. Сложное умозаключение 156
§ 76. **Сложное умозаключение. Его материя и форма. Проверка его правильности 156
Контрольные вопросы и задачи к § 76 157
§ 77. Условный силлогизм 157
§ 78. Условно-категорический силлогизм 158
§ 79. Разделительно-категорический силлогизм 160
§ 80. Условно-разделительный силлогизм 161
§ 81. Прямое доказательство 162
§ 82. Косвенное разделительное доказательство 163
§ 83. Косвенное апагогическое доказательство 164
Контрольные вопросы к практической части курса 167
Контрольные вопросы к теоретической части курса 169
Рекомендуемая литература 171

Предисловие для тех, кто начинает учиться или учит логике

Логика возникла из потребности людей получить рациональные (разумные) и демократические (в данном случае – действующие без угрозы физического принуждения) средства убеждения в споре – политическом, судебном и научном. На протяжении последних более чем двух тысячелетий она – долгое время под названием «диалектика» – входила в число фундаментальных образовательных дисциплин. В настоящее время логика является основанием теорий рациональных способов мышления и речи, в частности современной теории аргументации.

Будучи одним из средств убеждения, логика уже в древности стала определять форму выражения полученного из опыта знания, благодаря чему последнее и стало теоретическим, в полном смысле научным – не только опытным, но и умозрительным. С этой, логической, формой всякий чело-век знакомится, изучая геометрию в школе. Аксиомы (начала, принципы), определения и доказательства (теоремы) – вот необходимые элементы вся-кого теоретического знания, связь которых и образует логическую форму. Именно она дисциплинирует, приводит в систему научные знания и служит для их передачи (публикации).

Являясь законным орудием убеждения противника в спорах (в частности, научных) и теоретизации знания, логика, помимо указанной практической и научной ценности, имеет ещё исключительно большую образовательную ценность. Она заключается в том, что логика – это верное средство дисциплинировать (образовать) сам ум человека, которому, несомненно, предстоят разнообразные споры и, возможно, научная деятельность. Назначение данного учебного пособия и состоит в том, чтобы помочь учащемуся логически дисциплинировать его мышление.

Умственная дисциплина достигается не столько изучением логической теории, сколько приобретением практических навыков её применения в решении простых интеллектуальных задач. К числу таких задач относится и логическое убеждение в споре. Поэтому первое, на что должен обратить внимание учащийся, – не собственно результат решения, а доказательство его правильности, то есть соответствия решения заданию (условиям задачи). Можно считать, что задачи – главное в пособии, теория же имеет значение общего средства, необходимого для их постановки, решения и обоснования решения. Подобные и более сложные задачи возникают в жизни каждого человека, получающего образование или практически использующего приобретённые знания и при этом призванного убеждать в своей правоте других людей.

Личная логическая дисциплина ума (логическая культура) проявляется в повседневном общении человека как точность и ясность выражения им своих мыслей. Данное пособие будет полезно учащемуся и в этом отношении, но только в том случае, если он дословно запомнит и усвоит данные в пособии определения и правила. Для многих это будет хорошим способом развить свои способности – речь и мышление.

Параграфы (вопросы) предлагаемого курса логики распределены по следующим в большинстве своём традиционным главам (темам):

I. Историческое введение.
II. Основания классической логики.
III. Понятие.
IV. Простое суждение.
V. Основные законы классической логики.
VI. Простое умозаключение.
VII. Сложное суждение.
VIII. Сложное умозаключение.

Нетрадиционной здесь является вторая глава, посвящённая основаниям логики.

Чтение учебника логики может стать хорошим способом усвоения логического знания, если основополагающие идеи не потеряются в них в обилии второстепенных и необязательных знаний, лишающих традиционные, «исторические», курсы стройности, идейного единства и прозрачности. Вдобавок к этому, логические идеи, особенно самые важные, должны быть представлены в учебнике достаточно ясно. Поэтому для настоящего пособия отобран минимум определений, обладающий, тем не менее, известной внутренней полнотой и безусловной фундаментальностью. Этот минимум является ключом к логическим знаниям, оставшимся за его пределами, и для его изложения автор не жалел слов, дабы сделать его как можно более толковым.

Такое сочетание минимализма с максимализмом позволило написать краткое по объёму, но основополагающее по содержанию и столь ясное по форме пособие, что оно может быть использовано для самообразования.

Труднее всего самостоятельно научиться искусству решения задач, даже усвоив теорию. Вот почему большое внимание в пособии уделяется задачам. Согласно указанным принципам минимализма и максимализма, отобрано несколько наиболее важных типов задач, решение которых представлено исчерпывающе подробным образом. В результате, как можно надеяться, пособие поможет всем, кто хочет научиться решать задачи самостоятельно.

Выбранные шесть типов задач соответствуют основным разделам любого курса логики. Типы задач и соответствующие наиболее важные параграфы, включающие необходимые методические указания по решению этих задач, таковы:

Задача I. Нарисовать диаграмму данных понятий, назвать отношения между ними и обосновать ответ (§§ 20, 21).
Задача II. Найти диаграмму понятия, построенного из данных понятий с помощью действий сложения, умножения или отрицания (§§ 10–14 с заменой термина «предмет» на термин «понятие»; § 23).
Задача III. Найти материю и форму данного простого категорического силлогизма (§§ 35–40, 60–64).
Задача IV. Проверить данный модус простого категорического силлогизма (§§ 8, 56, 65).
Задача V. Проверить данную энтимему (§§ 67, 68).
Задача VI. Проверить данный сложный силлогизм табличным методом (§§ 69–71, 73, 74, 76).

Для первых пяти типов задач каждый предыдущий тип служит основой для решения задач последующих типов. Этим и определялся их отбор. И только шестой тип независим от предыдущих.

Задачи I, II и IV являются графическими по своему результату или методу решения и основываются на простой идее изображения понятия с помощью диаграммы Эйлера (§ 20). Та же идея используется для изображения простого категорического суждения и простого категорического умозаключения.

Несколько фрагментов основного текста выделено рамкой, и они должны быть усвоены или заучены учащимся самым добросовестным образом. Фрагменты текста, набранные мелким шрифтом, могут быть пропущены при первом чтении.

Часть содержания некоторых параграфов может быть, а в некоторых случаях и должна быть развита учащимися самостоятельно в ходе выполнения ими соответствующих заданий (например, по заполнению таблиц). Крайне желательно, чтобы аксиомы диады (§&nbps;6) и триады (§&nbps;8) были получены самими учащимися, разумеется, под сократическим (по примеру непревзойдённого мастера диалектики Сократа) управлением преподавателя. Названия таких параграфов отмечены одной звёздочкой, и их рекомендуется излагать на практических занятиях. Две звёздочки указывают на параграфы, имеющие подраздел «Контрольные вопросы и задачи» – практическую часть с задачами, решать которые необходимо на практических занятиях.

В конце книги помещены «Контрольные вопросы к практической части курса» и «Контрольные вопросы к теоретической части курса». Первые могут быть использованы на зачёте, вторые же – в качестве экзаменационных вопросов.

Предисловие для тех, кто продвинулся в изучении логики

Логика, которой посвящена эта книга, имеет много названий, появившихся в разное время. Это и аристотелева, и классическая, и традиционная, и формальная, и философская логика. Некоторые из этих названий служили ей для того, чтобы отличаться от математической логики.

Логику Аристотеля назвали классической в том же смысле, в каком считаются классическими (образцовыми) все его дошедшие до нас произведения. Однако в математической логике, возникшей в XIX столетии и начавшейся с попыток изложить традиционную логику на языке математики, установилось собственное понимание классической (математической) логики. Это пропозициональная логика и логика предикатов (с семантикой А. Тарского), связываемые с классическими (двузначными), или булевыми, таблицами истинности (семантическими таблицами). К неклассической же логике относят интуиционистскую, модальную, релевантную и многие другие версии математической логики.

То, что в математической логике установилась своя «классическая» традиция, лишний раз указывает на её известную противоположность философской логике. Вторая, в отличие от первой, самым тесным образом связна с естественным языком, его грамматикой и компетенцией. Это делает аристотелеву логику всегда актуальным средством и целью академического («классического») образования, лучшим посредником при переходе от естественно-языковых дисциплин к математическим наукам, использующим искусственные языки. Философская логика незаменима в ситуации, когда образуемый ум призван совершить скачок вверх по ступеням абстрактности и формальности знания. Имея это в виду, трудно согласиться с мнением некоторых специалистов в области математической логики, будто аристотелева логика утратила актуальность и представляет лишь исторический интерес. Это суждение коренится, во-первых, в том неосновательном впечатлении, что математическая логика в теоретическом отношении уже «сняла», или покрыла, содержание философской логики, и, во-вторых, в некотором отстранении от проблем дидактики. В этой связи можно поспорить с тем по существу позитивистским взглядом, будто философская логика исчерпала свой теоретический потенциал и осталась не у дел в науке, передав свой предмет логике математической. Последняя точка зрения исходит из неявного положения о возможности полной формализации всякого интуитивного знания, формализации, удовлетворительной якобы в любом отношении, включая образовательный контекст.

Следующий далее основной текст не содержит строк, заимствованных из какого бы то ни было ранее изданного учебника логики, в чём можно видеть его главный недостаток, но также и некоторое достоинство. Содержание традиционного курса классической логики преобразовано автором и почерпнуто, в основном, из двух учебников, которые он считает лучшими из известных ему и непревзойдёнными в своём роде. Это «Логика» В.Ф. Асмуса (М., 1947) и «Учебник логики» Г.И. Челпанова (М., 1994). Обе эти книги написаны известными отечественными философами ещё дореволюционной (имеются в виду революции 1917 года в России) формации. Вторая книга выдержала много изданий до 1917 года. Третьим полезным источником представляемого пособия стал сборник работ получившего мировую известность отечественного (казанского) логика Н.А. Васильева «Воображаемая логика» (М., 1989).

Роль и новаторство автора заключались всего лишь в обосновании и логичном изложении традиционного содержания логики. Поэтому данная книга могла бы по праву носить название «Классическая логика в логичном изложении» и считаться логическим изложением логики в отличие от исторических, то есть следующих традиции, изложений. Критика классической (аристотелевой) логики, предпринятая Н.А. Васильевым в начале ХХ века, обнаружила некое противоречие в традиционных курсах логики, которое носит более прагматический, чем логический, характер и вполне проясняется и исправляется в настоящем пособии. Это потребовало начать изложение логики с самых её оснований (аксиом), то есть с раздела, который в ситуациях, требующих одного слова, удобно называть протологикой (первой, основополагающей, частью логики). Далее почти вся (исключения оговорены ниже в этом предисловии) классическая логика прямо и последовательно выводится из собственных интуитивно очевидных, простых и ясных оснований, что позволяет считать такое её обоснование прямым. Таким образом, классическая логика приобретает логическую форму и, благодаря этому, становится подлинно теоретической дисциплиной, удовлетворяющей всем критериям научности.

Действительно, до сих пор традиционная логика находилась в положении искусства землемерия (геометрии), каковой она была до того, как Платон и его сподвижники, гениальные греческие математики, а позднее Евклид, завершивший их дело, не стала подлинной наукой. До сих пор традиционная логика не была аксиоматизирована, если не считать не вполне удачных, частичных и косвенных обоснований, предпринятых со стороны, а именно в рамках математической логики. Причём делались такие попытки аксиоматизации в отношении не классической логики в целом, но лишь её части, называемой силлогистикой. Подобные обоснования проводились исходя из нескольких правильных модусов вроде Barbara, полагаемых в качестве аксиом, но являющихся теоремами при прямом обосновании.

То обстоятельство, что классическая логика до сих пор оставалась без оснований, удивительно, поскольку сама она справедливо претендует на роль учителя всех прочих научных дисциплин, логически дисциплинируя их. Это значит, что подлинно научное знание должно излагаться начиная с простых и ясных аксиом (в математике) или математически выраженных принципов (в науках о природе), прочие же истины должны быть выведены из этих начал, то есть представлены в виде теорем. Образцом логично изложенного знания более двадцати веков оставались «Начала» Евклида. Однако сама логика излагается, ничуть не подчиняясь установленному ею же образцу, что затрудняет её понимание и позволяет сохраняться тому противоречию, которое было замечено Н.А. Васильевым.

Помимо субъективных, исторических причин, указанное парадоксальное положение классической логики объясняется тем объективным обстоятельством, что её содержание в некотором смысле «нелинейно» («криво») относительно неизбежно «прямолинейных» аксиоматизирующих систем. Результатом этого является расщепление классической логики на логику Аристотеля и логику, которую следует называть именем Н.А. Васильева. Обе логики содержат два главных раздела – теорию простого суждения и теорию простого умозаключения (которое является только одним из видов сложного суждения), или силлогистику (в аристотелевском значении последнего термина). Оба эти раздела в логике Васильева выводятся из двух аксиом (аксиомы диады и триады). Теория простого суждения является в ней естественной (соответствующей обычной языковой интуиции), однако теория умозаключения неполна, так как не содержит многих правильных модусов логики Аристотеля.

Добавление к двум названным аксиомам третьей (так называемого соглашения аристотелевской логики) позволяет получить указанные разделы логики Аристотеля, но в ней только теория простого умозаключения оказывается более естественной (более соответствующей практике убедительных рассуждений). Традиционный (исторический) курс логики адекватен речевой практике, но оказывается «метапротиворечивым» смешением теории простого суждения логики Васильева и теории простого умозаключения логики Аристотеля, чем и объясняется невозможность аксиоматизировать его исходя из какой-либо одной системы аксиом.

Для того чтобы строго вывести основные логические законы (непротиворечия и исключённого третьего) из аксиом, автору пришлось изменить традиционные определения отношений противоположности между сравнимыми общими суждениями (отношений субординации, субконтрарности, контрарности и контрадикторности). Он определяет их исходя не из поверхностной формы, то есть количества и качества, таких суждений, но на основании их совместимости или несовместимости по истине и лжи. Неудовлетворительность традиционных определений состоит, во-первых, в том, что они порождают проблему для сравнимых единичных суждений (например, «Сократ – философ» и «Сократ – не философ») – контрарны они или контрадикторны? По форме одно из них является общеутвердительным, а второе – общеотрицательным, и можно ошибочно решить, исходя из традиционного определения, что они контрарны. Однако по своим свойствам (совместимости или несовместимости по истине и лжи) они оказываются контрадикторными. Это противоречие между традиционным определением и свойствами определяемых отношений, с одной стороны, и желанием распространить логические законы на единичные суждения, с другой, и порождает проблему. Она, однако, легко решается (в пользу контрадикторности), если принять определения отношений противоположности, используемые в данном учебнике.

Более того, предлагаемое определение противоположностей позволяет внести полную ясность в соотношение логик Аристотеля и Васильева, в том числе законов исключённого третьего (Аристотель) и исключённого четвёртого (Н.А. Васильев), развеяв туман мифов и спекуляций, окружающий последний закон. И это служит вторым аргументом для принятия выбранных определений противоположностей.

Стоит обратить внимание на то, как в учебнике используются диаграммы. Вопреки Платону, с недоверием относившемуся к математическим чертежам, автор, в полном соответствии с замыслом прямого интуитивного обоснования логики, отводит им не вспомогательную роль, но считает их выразительным логическим средством, равноправным с символическим (аксиоматико-дедуктивным). В известных случаях (как, например, в § 12, посвящённом протологическому прообразу логических законов) диаграммы служат основой собственного метода. Он может использоваться без ослабления строгости рассуждений наряду с тождественными преобразованиями и доказательствами, имеющими синтаксический (формальный) характер. Пример последних содержится в § 14, посвящённом методу протологических конституент. Представляется, что традиционное формальное понятие теоретической строгости может быть расширено соответствующим образом, учитывающим, во-первых, возможность материально-интуитивной (феноменологической) ясности не вполне оформленного мышления, во-вторых, трудности адекватного выражения мысли на любом дискурсивном языке, приводящие к необходимости пользоваться иными (изобразительными) выразительными средствами, а в-третьих, невозможность вполне отделить форму выражения мысли от её интуитивно переживаемого содержания.

Метод диаграмм играет в прямом обосновании логики не меньшую роль, чем метод семантических таблиц. Так называемые протологические номера 1, 2, 3, 4, 5 (жергонновы отношения) в таких таблицах имеют интуитивно ясное аксиоматическое происхождение и служат фундаментальными логическими значениями, производными от которых оказываются классические логические значения «истина» и «ложь». В традиционных («исторических») курсах логики последние два значения использовались, но оставались без определения, что, наряду с другими обстоятельствами, также мешало прояснить общее строение классической логики.

Ещё одной особенностью авторского подхода к предмету настоящего учебника стал отказ от характерного для Аристотеля атрибутивного истолкования простого категорического суждения, при котором предикат понимается как атрибут (свойство) субъекта. Вещь и свойство вещи предстают при этом предметами разного типа реальности. В представляемом же курсе принято субстантивное толкование, при котором субъект и предикат являются предметами одного и того же типа, что, помимо прочего, упрощает концепцию их конверсии (перестановки). В пределах такого подхода признак понятия понимается тоже как понятие, указывающее на первое путём задания объёмного (жергоннова) отношения между ними.

Некоторые имеющие место ниже расхождения с традиционными (историческими) курсами логики вызваны желанием сделать изложение более простым и прозрачным, избавив его от проблем, которые классическая логика принципиально не может решить. Например, автор изменяет (упрощает) традиционное определение контрарных понятий. Логика пытается формализовать интуицию контрарных (противных) понятий как антонимов (вроде «холодного» и «горячего», «чёрного» и «белого»). Но все такие попытки неудачны, они и не могут быть удачными, и от них следует отказаться. Приняв чисто логическое определение, из которого следует, что «чёрное» и «белое» – антонимы, логика должна была бы признать, что «чёрное» и «красное» – тоже антонимы. Чтобы не противоречить языковой интуиции и традиции в этом вопросе, необходимо отказаться от определения антонима, которое, в силу скудости средств классической логики, не может быть удовлетворительным. На вопрос, почему чёрное и белое считаются противными противоположностями, а чёрное и красное таковыми не считаются, можно дать лишь один ответ: такова языковая традиция. С точки зрения логики выбор одних противоположностей как антонимов, а других – как не антонимов, является произвольным, то есть случайным, внелогическим. Вот почему автор отказывается от определения антонимов и определяет контрарность безотносительно к ним, более просто, но так, что контрарными оказываются не только антонимы, но и любые несовместимые понятия (в том числе «чёрное» и «красное»).

По сходной причине логика не в силах дать такое определение существенного свойства, опираясь на которое, для каждого свойства можно было бы решить, является ли оно существенным или не является. С помощью чисто логического рассуждения невозможно показать, что, например, сладость является существенным, а белизна – несущественным свойствами сахара. Граница между существенным и несущественным относительна, она зависит от исторического момента и культурной среды, тогда как в логике с закреплёнными началами (аксиомами) всякое определение абсолютно. По этой причине и принятое в традиционных учебниках разделение популярной и научной индукции представляется автору несостоятельным. Согласно этому разделению, популярная индукция не отличает существенного от несущественного и потому чревата ошибочными (ложными) заключениями вроде «Все лебеди белые», тогда как научная индукция, основывающаяся на анализе существенных свойств, якобы исключает ошибки.

Итак, с целью логичного изложения логики автор отказывается от атрибутивного истолкования суждения, от определения понятий антонима, существенного свойства и т.п. Как справедливо заметил известный логик и философ Л. Витгенштейн, «То, что вообще может быть сказано, может быть сказано ясно, о том же, что сказать невозможно, следует молчать».

Некоторые особенности представленной книги (в том числе её особая неполнота, вызванная критическим отсечением лишнего), о которых ни здесь, ни далее не сказано, продиктованы тем, что она является учебным пособием, а не научной монографией. Она учит логичному мышлению своими чёткими, насколько это удалось автору, определениями, строгими постановками задач и правилами их решения. В не меньшей степени она учит простому и общезначимому (всем понятному) языку выражения самых простых мыслей, в том числе экономному описанию диаграмм на геометрическом языке. И это, возможно, ещё более важно, поскольку любой только ещё приступающий к изучению логики человек уже мыслит логически, поскольку овладел, хотя бы и не в совершенстве, своим родным языком.