Авторы, обращающиеся к теореме (теоремам) Гёделя о неполноте, более или менее точно пересказывают её, а иногда и идею её доказательства. Последняя при этом неправомерно сводится к идее гёделевой нумерации. Подлинная идея доказательства теоремы проста и с философской точки зрения более значительна, но остаётся неявной, а всё внимание переносится на второстепенную и подчинённую идею, служащую сложным техническим средством для реализации первой. Мысль о том, что в основе доказательства Гёделя лежит преобразованная антиномия лжеца, высказывается ещё реже и не разъясняется должным образом.

Теорема Гёделя говорит о формальной арифметике в терминах непротиворечивости и полноты, которые можно определить для любой формальной системы известным образом. Система непротиворечива, если не позволяет доказать ни одного ложного предложения, и полна, если позволяет доказать все истинные предложения, написанные по её правилам. Центральным пунктом Гёделева доказательства является демонстрация так называемого предложения (формулы) Гёделя G. Оно появляется за пределами арифметики чудесным образом, в силу безграничной творческой способности языка, и выражает собственную недоказуемость. Его смысл передаётся неформальным предложением «Я – недоказуемое предложение». Иными словами, G есть предложение «Предложение G недоказуемо». Удивительным образом «G» равносильно «G недоказуемо».

Можно представить, что идея доказательства заключается в рассмотрении альтернатив «G доказуемо» и «G недоказуемо». Если G доказуемо, то G ложно, поскольку говорит о собственной недоказуемости. Но если G доказуемо и ложно, то арифметика противоречива. Ну а если G недоказуемо, то G истинно, так как и утверждает собственную недоказуемость. Тогда арифметика неполна. Истинна первая либо вторая альтернатива. Так получается дизъюнктивная формулировка теоремы Гёделя: (формальная) арифметика противоречива либо неполна. Если первая альтернатива ложна, то вторая истинна. Эта даёт одну из четырёх возможных импликативных формулировок, самую известную: если арифметика непротиворечива, то она неполна.

То, что действительно сложно в доказательстве теоремы – это формализация (арифметизация) предложения Гёделя, то есть его построение по синтаксическим правилам логико-арифметической системы. Для этого и служит хорошо известная идея гёделевых номеров.

Предложение Гёделя аналогично предложению лжеца «Я лгу», рассматриваемого в антиномии лжеца. Говорят, что «разрушительная» для знания, как любое противоречие, антиномия лжеца решается Гёделем (и Тарским) путём разделения понятий истинности и доказуемости (материального и формального аспектов истины) и преобразуется в средство доказательства положения, имеющего большое познавательное значение. И это, якобы, есть положение о (безусловной) неполноте формального, то есть подлинно научного, знания.

Последнее можно оправдать только верой. Поскольку нам труднее смириться с противоречивостью знания, чем с его неполнотой, и поскольку с противоречиями мы успешно справлялись, а неполнота почти всякого знания кажется очевидной и в исторической перспективе неустранимой, мы верим в непротиворечивость знания. А значит, признаём предложение Гёделя истинным.

Дадим предложению лжеца имя Е в честь Евбулида, предполагаемого автора антиномии. Удивительным образом «Е» равносильно «Е ложно». Антиномия лжеца заключается в рассмотрении альтернатив «Е истинно» и «Е ложно», подобных альтернативам «G доказуемо» и «G недоказуемо». Если Е истинно, то Е ложно, поскольку говорит о собственной ложности. По той же причине, если Е ложно, то Е истинно. В любом случае наше знание о «лжеце» и, следовательно, о мире, в котором есть «лжец», оказывается противоречивым.

Однако можно заметить тонкое различие в понимании истинности антецедента и консеквента импликаций «Если Е истинно, то Е ложно» и «Если Е ложно, то Е истинно». Полагаемая антецедентом истина (ложь) не доказывается, а полагается произвольно, и в этом смысле она материальна. Ложность (истинность) консеквента дедуцируется из (смысла) предложения Е и с этой точки зрения формальна. Формальность истины (лжи) в этом контексте понимается не так, как в пропозициональной логике, а специальным образом – как её, истины (лжи) доказуемость (опровержимость). Соответственно, и материальность истины (лжи) надо понимать как её недоказуемость (неопровержимость).

Впрочем, есть основания считать истинность антецедента формальной именно потому, что она произвольна, а истинность консеквента – материальной, поскольку она интуитивно извлечена из смысла предложения лжеца. Однако вопрос, является ли данная истина материальной или формальной, не всегда корректен. Так, вводя аксиому в теорию, какую истину мы этим полагаем – материальную или формальную? Аксиома – граница между позитивным (предметным, формальным) знанием и позитивным же незнанием. Она – начало цепочки слов, выражающей доказательство, и, в силу причастности к концу этой цепочки – формальная истина. Она же есть конечный результат в целом безотчётного интуитивного мышления и тем самым – материальная истина.

Так или иначе, антиномия лжеца преобразуется в рассмотрение следующих альтернатив. Если Е материально истинно (истинно, но недоказуемо), то Е формально ложно (опровержимо). Если же Е материально ложно (ложно, но неопровержимо), то Е формально истинно (доказуемо). Противоречие исчезает, преобразуясь в выражение логических презумпций ложности (виновности) и истинности (невиновности), которые выбираются нами как средства разрешения неопределённости (неполноты) знания в зависимости от наших прагматических целей.

Может показаться, что предложение, утверждающее собственную недоказуемость, незаконно и не годится для доказательства теоремы о неполноте теории, ибо говорит нечто о самом себе, а не о внетеоретической реальности – предмете теории. Но предложение Гёделя отрицает представление о себе как результате процесса доказательства, и это значит, что оно говорит не столько о себе, сколько о своём истоке и своей истории, не представленной в теории последовательностью слов, начинающейся с аксиом. Оно говорит о своей «беззаконности», или, говоря языком Канта, ноуменальности, существовании в силу «свободной причинности». Следовательно, оно выражает трансцендентальную истину в её несогласных (материальном и формальном) аспектах, что вполне согласуется с предложением считать формулу Гёделя образом метафизического высказывания лжеца «Я лгу».