18.11.2016 на IV Международной научной конференции «Космизм и органицизм: эволюция и актуальность» Сергей Антаков сделал доклад по видеосвязи.

Вопросы к докладчику и его ответы об отношении В. А. Лефевра к ницшеанскому сверхчеловеку, стоящему «по ту сторону добра и зла», и о способе математического представления совести Лефевром не попали в данную видеозапись по техническим причинам.

Видеозапись выступления С. М. Антакова на конференции «Космизм и органицизм: эволюция и актуальность».

Конференция организована гуманитарным факультетом Санкт-Петербургского государственного экономического университета при поддержке Российского философского общества, Санкт-Петербургского философского общества, Ассоциации искусствоведов (АИС), Философско-культурологического центра «Cairos».

Лекция Михайлова «Равинáгар – состояние отождествления пространства, психики и грамматики» состоялась 21 мая 2016 г. в «Философском кафе» в С.-Петербурге, продолжалась 2 часа 13 минут и была интересна. Я прослушал её 16 ноября 2016 г.

Михайлов говорил о том, что многие наблюдатели считают его психически ненормальным и ставят ему разные диагнозы. По моему же впечатлению от лекции, Михайлов в высшей степени нормален, противоположное же впечатление вызвано его чрезмерным стремлением доказать свою гениальность невежественной публике. Он действительно гениален в математике и, кажется, в искусстве жонглирования (его он не демонстрировал, но говорил о подготовке беспрецедентного трюка так, что ему можно поверить).

Однако, гениален ли он в философии? Этого утверждать пока нельзя, поскольку в философии он пока новичок, и не известно, заинтересуется ли, овладеет ли он классическим философским языком. Пока же он хочет создать свой язык, пригодный для сообщения своих мыслей, который может получить признание в рамках хотя бы небольшой секты или школы последователей.

В лекции Михайлов был косноязычен, когда пытался выразить свои претендующие на универсальность мысли, навеянные ему теорией гомотопий в математике и психотерапевтическим опытом. Ещё более косноязычны были вопросы слушателей к Михайлову, что не удивительно. Михайлов терпеливо выслушивал эти вопросы и подчас длительные рассуждения, он никого ни разу не прервал и не обидел, что лишний раз демонстрирует его высокую социальную адаптированность, стало быть, нормальность.

«Философия» Михайлова оказалась чрезвычайно простой. Она апеллирует к трём образам-узорам, якобы борющимися друг с другом: фрактальному узору, глубинному узору с разрывами и плоскому лабиринту. Первый он связывает с паранойей, второй – с шизофренией (к которой относится с одобрением), третий – почему-то с эпилепсией. Слушателям, и мне в том числе, не понятно лишь, как Михайлов визуально представляет себе глубинный узор. По-моему, глубинность такого узора означает не его трёхмерность, в отличие от двумерного «плоского лабиринта» или фрактального узора, но его залегание в каком-то глубинном слое (не понятно, что именно расслоено – сознание, основания философского знания, бытие или что-то ещё), в силу этой глубиности не очень видимом. Когда кто-то спросил Михайлова, где можно воочию увидеть глубинный узор, он так и не смог ясно ответить, сославшись, в частности, на картины Ван Гога, но не разъяснив, как в них это увидеть. В итоге, Михайлов не смог передать стоящий перед ним образ этого типа узора слушателям.

Риторика Михайлова, в которой три типа узоров оказываются приложимы, кажется, к любой предметной области (они и применялись им и некоторыми его слушателями к психологии, искусству жонглирования, политике и др.), легко может быть усвоена поп-философскими (развлекательно-философскими) сообществами, что и показали слушатели лекции своими вопросами и рассуждениями на новом языке, изобретаемом Михайловым. Поэтому вполне вероятно признание его «философии» в подобных философско-риторических кругах. Риторике по поводу трёх типов узоров легко научиться людям со сколько-нибудь заметным риторическим талантом, уже освоившим (и уставшим от него) язык Лакана, Фуко, Жижека и им подобных властителей дум, теряющих былое влияние. Узоры, или формы, Михайлова удобно использовать в изобретении речей, а стоящая за ними авторитетная математика (теория гомотопий) санкционирует в глазах невежд использование такой риторики, несмотря на то, что никаких шансов понять эту математику (источник узорной риторики) на профессиональном (не популярном) уровне ни у кого нет. Ведь сам Михайлов сказал, что его теорию (доказательство некоей теоремы) могут понять лишь 4 или 5 человек в мире, и нет никаких оснований сомневаться в этом.

«Философия» Михайлова, основанная на трёх узорах, представляет собой грубую в своей простоте психиатрическую концепцию, навеянную его топологическими занятиями и обобщённую до универсального объяснительного принципа. Она имеет значение лишь для изобретения речей и будет забыта неблагодарной публикой, когда в моду войдут новые популярные – простые и пригодные для риторической инвенции – принципы.

Из общедоступного рассказа Михайлова о математике, которой он занимается, и из подобных рассказов других математиков о достижениях их коллег в других областях математики можно заключить, что математика Михайлова – не более чем «игра в бисер», ей едва ли суждено превратиться в столбовую дорогу математики. Трудно представить, что она когда-нибудь перестанет быть математическим курьёзом, побочным фактом истории математики. Это потому трудно представить, что для доказательства филигранного результата Михайлова ему пришлось использовать с десяток результатов из разнородных математических теорий. Именно поэтому за проверку его доказательства никогда не возьмутся составляющие критическую массу математики, идущие путём математического мэйнстрима. Можно лишь надеяться на то, что результат Михайлова будет переоткрыт или подтверждён единой простой теорией, которая и окажется очередной вехой этого мэйнстрима.

Примеров подобных математических головоломок-курьёзов, потребовавших беспрецедентных усилий математических гениев, много в разных областях математики вроде теории множеств, конструктивной математики, теории чисел.

Математическое значение достижений Михайлова в теории гомотопий можно уподобить его же планируемому достижению в искусстве жонглирования двумя кольцами и шаром. Они интересны, поразительны, но к магистральному стволу жизни (в том числе математической) имеют очень опосредованное отношение.

Специфическая околофилософская публика, послушав лекцию Михайлова в течение приблизительно часа, очаровалась лектором и уже начала понемногу усваивать его «узорчатый» язык, что проявилось в задаваемых ему вопросах-размышлениях. Может быть, Михайлов так умён (впрочем, в его исключительном и разностороннем уме невозможно сомневаться), что в душе смеялся над людьми, безотчётно желающими быть обманутыми, безмерно возвышаясь над своей мнимо глубокомысленной аудиторией, передать математическую искру своего гения которой он всё же пытался.

Статья опубликована:

Антаков С.М. Что такое математика? // Российский Гуманитарный журнал. 2015. Том 4. № 5. С. 358-367. http://libartrus.com/archive/2015/5/.

Основной текст сокращён редактором на 9,4%. Сокращённые фрагменты я выделил синим цветом, а вставку от редактора – красным. Сокращены все упоминания о том, что математика – не только знание и деятельность, производящая знание, но и субъект этой деятельности. Именно последнее делает вопрос «Что такое математика?» некорректным (окончательного ответа на который невозможно дать). С данными сокращениями моя статья лишается своей главной идеи и смысла. И если до сокращения она была, как мне кажется, малопонятна для тех философов, включая философов математики, в среде которых господствует традиция позитивизма, то после сокращения она становится никому и вполне непонятной и оставляющей впечатление риторического упражнения, цель которого лежит вне философии.

Аннотация

Эта статья не содержит ответа на заглавный вопрос, ограничиваясь исследованием лишь его возможности. В частности, автор защищает правомерность постановки основного вопроса философии математики и в качестве первого приближения к нему предлагает заведомо некорректный и потому требующий уточнения, зато понятный вопрос «Что такое математика?». Рассматриваются стратегии ответа на него, разделяющиеся на три группы: 1) вопрос наивен и не требует ответа; 2) ответ содержится в собственно математическом знании; 3) ответ может дать только философия. Дальнейшим уточнением основного вопроса служат вопросы о сущности и существовании математики, не всегда удовлетворительные ответы на которые в истекшем столетии дали, соответственно, фундаменталистская и культурно-историческая философии математики. Проблема дуализма философии математики принципиально разрешается посредством определённого вида диалектики, что требует от философии математики подчиниться метафизике.
Ключевые слова: основной вопрос философии, метафизика, фундаменталистская философия математики, культурно-историческая философия математики, позитивная философия, диалектика, сущность и существование, экзистенциальный выбор, Спасение.

* * *

«Наивный» вопрос о математике влечёт вопрос об отношении математики к философии

В качестве первого приближения к основному вопросу философии математики (уместность такового – именно как такового – будет рассмотрена в одном из следующих разделов) предлагается наивный в глазах многих знатоков вопрос «Что такое математика?». Мы не предлагаем здесь ответ (знатоки в нём и не нуждаются), но всё внимание направляем на исследование возможности вопроса и, тем самым, ответа на него. Ответом должно служить некое знание о математике, о котором, в свою очередь, надо спросить, является ли оно математическим знанием, принадлежит ли математике?

Может показаться очевидным, что знание о математике, выраженное классическим (родовидовым) определением математики как таковой, есть философское и лексикографическое (не математическое) знание, для собственно математической деятельности излишнее. Такой ответ, однако, противоречит ответу на первый вопрос, данному Р. Курантом и Г. Роббинсом в книге «Что такое математика?». В одном из её вводных разделов, имеющем то же название («Что такое математика?»), они излагают своё видение истории математики и показывают, что философия иногда мешала развитию математики (а также и естествознания), подводя читателя к финальному заключению: «И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?» [1, с. 24]. Так «никакое, даже самое блестящее описание, не сможет передать понимание музыки тому, кто никогда внимательно в музыку не вслушивался» [1, с. 546].

По существу, ответ математиков – авторов названной книги таков: чтобы получить знание о том, чтó есть математика, надо отбросить философию и заняться собственно математикой, хотя бы только усвоением известного математического знания. В качестве первого шага, как не трудно догадаться, желательно прочитать названную книгу, разделы основной части которой имеют популярное математическое содержание, относящееся к арифметике, геометрии, топологии и математическому анализу.

Таким образом философия отделяется от математики, а знание о математике отождествляется с собственно математическим знанием.

Совет «активно заняться самой математикой», чтобы узнать, чтó есть математика, позволяет подвести себя под особый, невербальный вид определения – остенсивное (указательное) определение, если естественным образом обобщить таковое, перенеся с вещей на действия и деятельность и даже ещё далее, на субъект деятельности. Например, в ответ на вопрос «Кто такой Сократ?» можно посоветовать стать Сократом, имея в виду «всего лишь» акт эмпатии, или понимания, переход на мгновение на точку зрения Сократа, что, разумеется, нелегко.

Остенсивные определения необходимы для овладения речью. Однако вслед за этим и на основе владения речью может начинаться уже выработка чисто словесных определений. Её необходимость для научного (не исключая этического) познания была открыта древними греками и ясно выражена в диалогах Платона. Страстью его Сократа был поиск Истины, или Блага, требовавший разыскания правильных (адекватных) определений ряда понятий. В этих поисках формировалась так называемая позитивная диалектика, представляемая бинарным математическим деревом («древом Порфирия») или, вообще, схемой подчинения и соподчинения понятий. Польза диалектики, стало быть, и польза определений, была двоякой, «гуманитарной» и естественнонаучной. Душеспасительное восхождение от вида к роду, который есть вид для более высокого рода, вело к пределу – неоплатоническому Единому. Кроме того, древо Порфирия служило образцом (пусть несовершенным) классификации, сыгравшей важнейшую роль в становлении некоторых естественнонаучных теорий.

Ещё во времена формирования диалектики обнаружились трудности такого (ищущего определения) пути познания, не решённые вполне и по сию пору. Так, урок апорий Зенона обычно видят в том, что логическое (понятийное) мышление не может определить или описать движение и множество без противоречия. Для элеатов это означало несуществование (нереальность) и иллюзорность движения и множества, иными словами, некорректность вопросов о них: спросить можно лишь о предметах, непредметы же нельзя и помыслить.

Противоположное решение, приписываемое, в частности, Диогену Синопскому, не замедлило появиться и заключалось в демонстрации движения, косвенно (безгласно) утверждающей: движение есть. Подобным образом Курант и Роббинс призывают воздержаться от поиска философского ответа на вопрос «Что такое математика?», взамен того «молча» предавшись занятиям арифметикой, геометрией и т.д., т.е. в некотором допустимом смысле став математиком (субъектом математики).

Решение Диогена дискредитировало метафизику (элейскую онтологию), да и дедуктивную логику (в то время ещё не имевшую названия) как инструмент метафизики, впервые использованный, как полагают историки, Парменидом. Решение же Парменида и Зенона («движенья нет») влекло отказ от физики и математики, поскольку лишало их собственного предмета – движения и множества, а метафизике оставляло роль единственно научного знания – знания о неподвижном и едином бытии.

Здесь обнаруживаются логические предпосылки и историческое начало конфликта между метафизикой и, шире, философией, с одной стороны, и наукой (математикой и математическим естествознанием) и «позитивной философией», с другой. Позднее (к концу Средних веков) конфликт приобрёл политическую составляющую, сохранив её до наших дней. Начиная с середины XIX века появившиеся тогда «позитивисты», опираясь по существу на кантианскую критику догматической метафизики, утверждали необходимость очистить науку от любых следов её присутствия.

Приписывая Пармениду полагание бытия как подлинного предмета метафизики (точнее говоря, онтологии), защитники метафизики отражают посягательства «позитивного знания» на её предмет. На самом же деле бытие и в мышлении Парменида не было вполне предметом, поскольку он представлял его в виде божественного Сфайроса, т.е. как оформленное, следовательно, ограниченное небытием бытие. Это противоречие в мышлении Парменида было замечено его последователями, которые попытались решить его, полагая Сфайрос бесконечным шаром, по существу вводя в рассуждение понятие математического предела. Но такое решение породило новые вопросы, не позволив закрыть исходную проблему противоречивости бытия. И до сего времени понятие предела в математическом анализе и соответствующее понятие замыкания (границы) в топологии, хотя они имеют классическое определение, нельзя считать окончательно прояснёнными.

Правильные классические определения, которые настойчиво разыскивала и порой не могла найти идеалистическая метафизическая традиция, начиная с Сократа, Платона и Аристотеля, оказалось невозможным дать таким казалось бы ясным математическим понятиям, как точка, прямая и плоскость. Определения геометра Евклида были признаны негодными и, в конце концов, вообще излишними. В том, что александрийский геометр ввёл их в свои «Начала», «позитивно мыслящий» математик может увидеть пагубное влияние на Евклида философии Платона. Ряд мыслителей, начиная с конца XIX века, пришёл к революционным выводам в философии науки, переосмыслив роль фундаментальных понятий или предметов науки, таких, например, как субстанциальные элементы вроде электрона в физике или точки в геометрии. Совсем-де не важно (да и не может быть знаемо), чтó представляют собой материальные элементы сами по себе (они суть «вещи в себе»), важны и познаваемы лишь отношения между ними, т.е. структура, форма целого (системы).

Так, в 1891 году Давид Гильберт выразил эту мысль словами, ставшими слишком известными: «Надо, чтобы такие слова, как «точка», «прямая», «плоскость», во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка» [2]. Та же мысль была высказана Анри Пуанкаре в 1902 году: «Математики изучают не предметы, а лишь отношения между ними; поэтому для них безразлично, будут ли одни предметы замещены другими, лишь бы только не менялись их отношения. Для них не важно материальное содержание; их интересует только форма» [3]. Согласно взглядам Гильберта, определения явно не определяемых математических элементов вроде точки и т.п. возможны лишь как неявные «определения», имплицитно задаваемые системой аксиом – предложений, в которые входят именующие эти элементы термины. Таким косвенным образом, посредством аксиом, элементы соотносятся друг с другом. Дальнейшее продолжение и развитие эти взгляды получили в известной «программе Гильберта» оснований математики. Программа в случае её выполнения гарантировала свободу математики от противоречий.

Названное революционным понимание роли явных определений в математике как ничтожной легко применить к оценке определения математики, что, как можно вообразить, и сделал Курант (именно он принимал решение о названии книги1). Его «ответ» на вопрос «Что такое математика?» по существу упраздняет классическое понимание вопроса как требования определить понятие (раскрыть его содержание, т.е. сущность предмета), представляя указанное требование праздным (если не вредным) философским вопросом. Ответ Куранта можно представить и как необходимый сдвиг в понимании математики, переводящий внимание с математического знания на математическую деятельность и, более того, на субъект математической деятельности.

Математика – не только знание

Простое лишь на первый взгляд решение, предложенное Курантом, имеет немало сторонников, не подозревающих о связанных с ним трудностях (строго говоря, «определение» математики и по Куранту невозможно, но его необходимо искать). Так, существует мнение, что ответ на обсуждаемый наивный вопрос давно известен и дан в упоминавшейся книге «Что такое математика?». И заключается он якобы в том, что математика – это арифметика, геометрия, математический анализ, линейная алгебра и т.д. Возражение этому мнению состоит, во-первых, в том, что оно, видя в математике только знание, раскрывает понятие математического знания путём его деления. Эта процедура оставляет нас на эмпирическом классифицирующем уровне познания. Однако с этого уровня неудержимая философская мысль устремляется к высоте теоретического знания, где требуется дать определение математики, раскрыв её сущность.

Во-вторых, ответ на вопрос «Чтó есть математика?» путём деления такого (ограниченного, редуцированного к понятию знания) понятия математики не приведёт к успеху, в частности, потому, что содержание математики и её общепринятый дисциплинарный состав исторически изменчивы. И крайне маловероятно, что математика уже сегодня остановилась, достигнув финала в своём развитии. В таком случае предлагаемый ответ на вопрос о математике будет (всегда?) устаревшим.

В-третьих, и это главное, математика не сводится к знанию, которое может быть отделено от субъекта знания. Поэтому всякое её определение будет неточным, а именно, редуцирующим (сводящим ценой не всегда оправданного упрощения) математику к знанию, т.е. опредмечивающим её. Математика – бытие, не тождественное мышлению. Вопрос «Что такое математика?» некорректен, если его предпосылкой является одностороннее (и в этом смысле ложное) понимание математики как исключительно знания. Это третье возражение имплицирует предыдущие два.

Математика как знание, оставаясь в собственных пределах, не смогла ответить и на, казалось бы, более уместный для неё внутренний и, по видимости, более простой вопрос об арифметической истине («Чтó есть арифметическая истина?», «Какие предложения арифметики истинны?»). Пользуясь рецептом Куранта, ответ следовало бы искать, изучая свойства натуральных чисел и доказывая соответствующие теоремы. Бесполезность этого рецепта, однако, по существу продемонстрирована теоремой Тарского о невыразимости понятия истины и теоремами Гёделя о неполноте формальной арифметики или, скорее, известной интерпретацией второй теоремы о неполноте: чтобы обоснованно верить в истинность доказанных теорем, необходимо доказать непротиворечивость арифметической теории в целом, что невозможно, если не выйти за её пределы, за пределы математики вообще. Как показала критика логицизма, войти с этой целью в пределы логики было бы недостаточно, поэтому остаётся надеяться лишь на исход в философию. Недаром теоремы Тарского и Гёделя, доказательство которых было принято, кажется, всеми математиками, показали несостоятельность формалистической (позитивистской) программы Гильберта и, позднее, неопозитивистской программы обоснования математического естествознания (см. [4]). Названные теоремы, подобно пифагорейской теореме о несоизмеримости, обнаруживают вполне непреодолимую нетождественность (математического) мышления и (математического) бытия, что выбивает почву из-под ног «позитивной философии». По этой несознаваемой, как можно думать, причине математики-позитивисты дают резкий отпор философам-«негативистам», пытающимся использовать теоремы Гёделя о неполноте как математический аргумент в метафизических спорах с позитивистами (не обязательно математиками).

По причине указанной некорректности вопроса «Чтó есть математика?» на него нельзя дать краткий ответ, подобный тем, что дают толковые или терминологические словари. Неполным и приблизительным, однако и наиболее точным в каждый исторический момент, ответом был бы весь корпус сочинений, посвящённых философии математики, а также книга Куранта и Роббинса «Что такое математика?» вместе со всей совокупностью математических трудов, опубликованных к этому моменту. Вот почему ответ на данный вопрос требует изложить все философские мнения о математике, что, впрочем, не сделает его полным. Перманентная некорректность самого вопроса требует продолжения философских рассуждений до тех пор, пока существует математика, её субъект. Она также требует, может быть, бесконечного продолжения рассуждений, ибо полагает идеал абсолютно точного ответа.

Нет и, видимо, не может быть и финального ответа на вопрос «Чтó есть знание?», от которого зависит вопрос «Чтó есть математика?» при указанном ограниченном её понимании. Первый вопрос, подобно аналогичным вопросам об истине, культуре, философии и т.п., имеет слишком много ответов, некоторые из которых по необходимости должны противоречить друг другу. Все подобные вопросы некорректны по одной и той же причине: «предмет» вопроса не есть предмет вполне, а есть субъект (душа, разум, вопрошающее о бытии бытие, dasein, экзистенция и т.п.).

Кроме того, традиционный ответ на вопрос «Чтó есть математика, рассматриваемая как знание?» требует указания предмета и метода математики. Но споры о её предмете не завершены по причине и его, предмета, исторической изменчивости. Об универсальном же методе математики (в отличие от универсального метода естествознания), кажется, ещё не высказано ни одного хотя бы в малой степени удовлетворительного мнения. Явно, нельзя назвать в роли такового аксиоматико-дедуктивный метод, а более общий ответ «диалектика» потребовал бы многих аргументов и остался бы спорным.

Итак, является ли знание о математике частью математики, или оно есть философское знание, радикально отделённое от математики? Оба ответа, как мы видели, имеют свои мотивы и основания как принять, так и отвергнуть их. Это означает, что оба они односторонни, а следовательно, неудовлетворительны. Граница между «физикой» и «метафизикой», наукой и философией, математикой и метаматематикой не может быть однозначно и безусловно определена вопреки тому, что думали на этот счёт элеаты и Кант. Вся история науки после Канта и особенно после «кризиса» в физике и основаниях математики, т.е. в ХХ веке, показала это по крайней мере философам (среди которых были математики и естествоиспытатели), и то некоторым.

Уместность «основного вопроса философии математики» и его метафизического решения

Как сказано выше, наше понимание основного вопроса философии математики проще всего передать обращением «Что такое математика?» («Чтó есть математика?»). При этом следовало бы сразу оговориться: в такой постановке он является приблизительным (требующим уточнения), только наводящим и даже некорректным. После объяснения этой особенности выражения основного вопроса и до перехода к его уточнению хотелось бы защитить правомерность «основного вопроса» как такового.

Ведь можно лишить доверия или осмеять попытку задать «основной вопрос философии математики», как это действительно произошло с «основным вопросом философии» в диалектическом материализме после того, как последний остался без внешних (государственных) опор и личным делом каждого. Можно отмести все подобные попытки, ссылаясь на то, что разные философы задаются разными вопросами, при этом считая свой вопрос и свою тему наиболее интересными. И всё же постановка общезначимого «основного вопроса» правомерна – ровно настолько, насколько правомерно требование к философии быть систематической (всеохватной), то есть, с хорошо известной точки зрения, подлинной.

Мартин Хайдеггер в период, когда он стремился к систематическому изложению своей философии, выделил метафизику как «определяющее средоточие и сердцевину всей философии» [5, с. 101] и сформулировал вопрос «Почему вообще есть сущее, а не наоборот – ничто?», назвав его «основным вопросом метафизики». Для позитивно мыслящего человека этот вопрос – образец чистой бессмыслицы, для иррационалиста Хайдеггера же – «первый по чину», «самый обширный» и «самый глубокий и, наконец, самый изначальный» вопрос [5, с. 88, 101]. Отметив его «непреодолимо широкий размах», шварцвальдский мыслитель даже не пытался дать на него ответ. Основным же вопросом «фундаментальной онтологии» Хайдеггера был иной, но всё же вселенски судьбоносный вопрос, в котором он видел основное условие «пробуждения духа». Это – тоже вопрос о бытии, но не вопрос «Что такое бытие?». Хайдеггер ставит его в виде менее ясного (ибо каков смысл «смысла»?) вопроса «Каков смысл бытия?». Зато он более приемлем, нежели вопрос «Что такое бытие?», некорректность (ложность посылки) которого, впрочем, неочевидна.

Прибегая к авторитету Хайдеггера, мы, в частности, оправдываем уместность «основного вопроса метафизики», чтобы оправдать «основной вопрос философии математики». Существует несколько более или менее сомнительных мнений относительно нашего основного вопроса, на которых следует остановиться. Согласно одному из них, основной вопрос философии математики есть вопрос об основаниях математики, получивший ответ в наиболее известных программах обоснования – логицистской, интуиционистской, формалистской. Это мнение не учитывает того, что вопрос оснований математики интересовал авторов упомянутых программ (в том числе Гильберта) и их последователей, но оказался не интересен многим позднейшим философам математики, а именно тем, кто стоял на позициях нефундаменталистской (культурно-исторической) философии математики. Это соображение наводит на мысль выдвинуть следующий критерий основного вопроса: ответом на него должно быть всё философское знание о математике, т.е. все мнения философов (многие из которых были математиками) о математике, включая философских (эпистемологических) фундаменталистов и нефундаменталистов.

Если первое оспариваемое мнение опирается на авторитет авторов программ обоснования математики (которые, может быть, и не заявляли вопрос обоснования как «основной», но всего лишь отдавали ему предпочтение) и представителей аналитической философии в философии математики2, то второе апеллирует к авторитету Канта. С этой точки зрения основным представляется вовсе не вопрос «Что такое математика» в смысле «Как действительна математика?», направленный, помимо прочего, на способы её исторического существования. Очевидно, последний вопрос не представлялся Канту важным. Это, помимо прочего, указывает на ограниченность кантианской философии математики, что, разумеется, имеет убедительное историческое оправдание. Кёнигсбергский мыслитель не придавал особого значения и вопросу о «предмете» и методе исторического познания, основательно поставленному позднее В. Дильтеем и неокантианцами-баденцами. Кант принципиально отделил математику и математическое естествознание от сферы спасительной веры, к которой, надо признать, относится и историческое (гуманитарное) познание.

Важнейшая для Канта проблема эпистемологии выражена вопросом «Как возможно теоретическое знание?», в частности, «Как возможна математика?». Вопрос этот, хотя и был новаторской постановкой фундаменталистской проблемы, на фоне других вопросов, решаемых в философии математики, всё же не представляется самым важным, а отвечающая на него трансцендентальная философия математики по-прежнему изолирована: иные философии математики прекрасно обходятся без её результатов, что показывает и их ограниченность.

Задаваясь вопросом о возможности математики, Кант, очевидно, полагал вопрос о математике «Чтó она есть или чем она является в действительности, а не в возможности?» не заслуживающим внимания. Однако с априорно-исторической (следовательно, и логической) точки зрения вопрос «Чтó есть математика?» предшествует вопросам «Как возможна математика?», «Как обосновывается математика?» и т.п. Это приводит к мысли, что вопросы о математике образуют иерархическую систему. Поэтому второй критерий основного вопроса заключается в том, что такой вопрос должен подчинять себе все прочие известные вопросы в качестве подвопросов, образующих иерархию. Ответ на него даёт больше, чем сумма ответов на подчинённые вопросы. Это добавочное (эмергентное) знание о математике, или, скорее, понимание математики как целого, будучи необходимым условием системности (знания), говорит как раз о том, что математика есть не только или не столько знание и деятельность, производящая знание, сколько субъект, собирающий и синтезирующий фрагменты знания в систему. Даже невозможность построения таковой в конечное время не могла бы служить оправданием для запрета или хотя бы лишения поддержки системосозидательной деятельности. сколько определённый тип систематизации знания.

Важный мотив постановки основного вопроса философии математики заключается в том, что он своей связью с правильно понятым основным вопросом метафизики подчиняет философию математики метафизике хотя бы в вышеприведённом Хайдеггеровском понимании последней. Подчинение представляется необходимым, коль скоро необходима всеобъемлющая система, удовлетворяющая универсальную потребность человека в самопонимании (обретении «смысла своего бытия»), которую не удовлетворяет ни одно из частных знаний, ни даже совокупность всех частных знаний (энциклопедия).

Но после разъяснения основного вопроса метафизики окажется, что это вопрос о Спасении, внерелигиозное (если угодно) понимание которого оправдано общепризнанным глобальным многосторонним непрерывно усугубляющимся кризисом человечества, чреватым его необратимой деградацией или гибелью. Спасение в его секуляризованном виде можно представить, в частности, как самопонимание: возможно ли оно (желаемый ответ категорически положителен) и как его достичь? Это, в частности, и «вопрос о смысле бытия» Хайдеггера.

Как следует из вышесказанного, мы не считаем основным вопросом философии математики в действительности важный вопрос о соотношении математического знания и внематематической реальности, индуцированный в недалёком прошлом нашего отечества дискредитированным сегодня «основным вопросом философии» в его диалектико-материалистическом понимании, восходящем к Фридриху Энгельсу. Это означает также, что мы не присоединяемся и к респектабельному мнению Ф. Гонсета, который полагал основным для себя вопрос об отношении математики к реальности [7].

Как ни странно, Энгельс прямо не связывал «основной вопрос философии» с этикой, с коммунистической спекулятивной идеей, на наш взгляд, подчинённой императиву Спасения во всей его полноте. Концепция основного вопроса философии как будто скалькирована им с кантианских антиномий чистого разума. В самом деле, история философии накопила достаточно много убедительных аргументов (и, если угодно, доказательств) как тезиса (дух первичен, материя вторична), так и антитезиса (материя первична, дух вторичен). Энгельс и его последователи сделали однозначный выбор антитезиса и объяснили, уподобляясь Канту, из каких, или чьих, практических интересов исходят защитники антитезиса и тезиса. В данном случае это, соответственно, прогрессивный класс угнетаемых (рабы) и угнетатели (господа), опредмечивающие человека, низводящие его до средства и никогда не возвышающие его до цели. Однако, как замечает Жан Лакруа, разве не признаёт итальянский коммунист-ортодокс Ремо Кантони, что «идеализм, ложный в мире противоречий и борьбы, может быть истинным для человечества, пришедшего к согласию с собой, для бесклассового общества?» [8]. Связь основного вопроса философии, как его понимал Энгельс, с коммунистическим идеалом оказывается неоднозначной и, признаем это, диалектическим материализмом не продуманной.

С нашей точки зрения, на правильно поставленный основной вопрос метафизики, а следовательно, и на основной вопрос философии математики, отвечает метафизика – теоретическое ядро философии, которое характеризуется не только категориальностью – использованием системы категорий, или так называемой позитивной диалектики, но и «негативной» систематичностью.

Первое уточнение «основного вопроса философии математики» и диалектическая схема ответа

Важнейшее для данной темы наблюдение говорит о том, что подвопросы основного вопроса философии математики, в том числе те, о которых уже шла речь, распределяются между фундаменталистской (позитивной и эссенциальной) и нефундаменталистской (культурно-исторической, но ещё не «негативной», не экзистенциальной) философиями математики. В ХХ веке эти философии были представлены соответственно неопозитивизмом и сменившим его во второй половине века постпозитивизмом. Говоря кратко и обобщённо, фундаменталистская философия математики ищет вечную сущность математики, ищет её в основаниях математического знания, тогда как нефундаменталистская философия стремится к пониманию её существования. Существование математики может быть выражено – принципиально неполно – в виде последовательности образов релятивизированной, т.е. неоднозначной, исторически изменчивой и даже противоречивой «сущности», как это сделали постпозитивисты, при этом лишившие историю науки её историософского (телеологического) стержня. Эта лишённость остаётся незамеченной философией науки, соответствующей «духу времени» – времени предельного отчуждения массового человека от, выражаясь светским языком, общезначимого и возвышенного умозрительного идеала.

Основной вопрос о математике оказывается двойственным в некотором точном математическом смысле, так что искомое уточнение начинается с его разделения на два подвопроса, относящихся к сущности и существованию математики. Именно подвопрос о сущности математики выражается некорректным вопросом «Чтó есть математика?». Он уточняется корректным вопросом «Какова сущность известной математики?», ответ на который не может быть полным, не исчерпывает основной вопрос философии математики и должен быть дополнен вопросом о существовании математики. Этот второй вопрос задаётся о математике, рассматриваемой уже как субъект. Первый вопрос задаётся о результатах опредмечивания математики-субъекта – о математическом знании и предметах техники, воплощающих это знание.

На вопрос «Чтó есть математика?» отвечает логически (позитивно) ориентированная, или фундаменталистская, философия математики, отвечает так, как будто математика характеризуется внеисторической, вечной сущностью или рациональностью. Исторически ориентированная, т.е. нефундаменталистская, культурно-историческая, философия математики по существу отвечает на вопрос о существовании, только сегодня даёт на него неадекватный, склоняющийся к позитивному ответ.

Мало сказать, что фундаменталистская и нефундаменталистская философии математики дополняют друг друга. Их оппозицию можно выразить дуализмом категорий-экзистенциалов объективного и субъективного, единство которых обеспечивается особым образом понимаемой диалектикой, имеющей своей целью теоретическое или практическое решение проблемы (в нашем случае – основного вопроса философии математики). Это диалектика, предполагающая последовательность экзистенциальных (и исторических) выборов, результаты которых в общем виде выражаются посредством категорий материи (содержания) и формы, конкретного и абстрактного, исторического и логического (у Гегеля); производительных сила и производственных отношений (у Маркса); существования и сущности (в томизме, неотомизме и экзистенциализме).

Единство двойственного основного вопроса философии математики (и философии науки вообще), единство существования и сущности усматривается в единстве диалектики существования и сущности, т.е. в единстве субъекта диалектики, производящего знания как самоосуществления в череде экзистенциальных выборов, как средства спасительного трансцендирования – существования «к бытию», а не «к ничто». Позитивный вид на математику оказывается при этом явным выражением негативного (непредметного) единства, т.е. субъекта.

Диалектика, что лежит на поверхности, есть рассуждение, убеждающее особым (именно диалектическим) образом, отличным от способа доказательного рассуждения, применяемого в математике, и точно так же (что, однако, скрыто от очевидности) нуждающееся во внелогической необходимости (принуждении). Применяющая знание диалектика-рассуждение есть предмет, результат опредмечивания диалектики-субъекта, есть редуцированный субъект, который в своём нередуцированном существовании принимает решения, исходя из опыта прошлых опредмечиваний и требования актуальной ситуации, в которой он находится. Диалектика есть средство субъекта, руководствующегося этическим принципом адекватности (истины), есть средство и история теоретического (оказывающегося практическим) решения «вечной» проблемы, в данном случае – основного вопроса философии математики.

Менее очевидно, что так понимаемая диалектика есть более чем средство – она есть сам субъект.

Уместность диалектики в философии математики, отвечающей на «основной вопрос», показывает, что такая философия должна быть существенно диалектической философией математики, т.е. вполне подчиняться метафизике.

Сноски

1 «Некоторую озабоченность у Куранта вызывало название книги. Оно казалось ему «слегка нечестным». Однажды на вечеринке у Г. Вейля он спросил совета у Томаса Манна. Должна ли книга называться «Что такое математика?», или ее следует назвать примерно так: «Математические дискуссии по поводу основных элементарных задач для широкой публики», – это название более точно соответствует содержанию, но «немного скучнее» [1, с. 546-547]. Смысл ответа знаменитого писателя таков: название книги должно обеспечить продажу наибольшего числа экземпляров и, следовательно, максимальное вознаграждение автору. Курант последовал совету Манна [1, с. 547]. вернуться к тексту ^
2 В этом отношении показательна статья [6]. вернуться к тексту ^

ЛИТЕРАТУРА

1 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. М.: МЦНМО, 2001. 568 с. вернуться к тексту ^

2 Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977. С. 79. вернуться к тексту ^

3 Пуанкаре А. О науке. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. С. 26. вернуться к тексту ^

4 Грязнов Б. С., Кузнецова Н. И. Успехи неопозитивизма и его кризис // Грязнов Б. С. Логика, рациональность, творчество. М., 1982. С. 141-143. вернуться к тексту ^

5 Хайдеггер М. Введение в метафизику. СПб.: Высшая религиозно-философская школа, 1998. вернуться к тексту ^

6 Horsten L. Philosophy of Mathematics // Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/. вернуться к тексту ^

7 Gonseth F. – Les Mathématiques et la réalité: essai sur la méthode axiomatique. – Paris: Félix Alcan, 1936. – XI-387 p. вернуться к тексту ^

8 Лакруа Ж. Марксизм, экзистенциализм, персонализм // Лакруа Ж. Избранное: Персонализм. Пер. с фр. М.: Росспэн, 2004. С. 346. вернуться к тексту ^

What Is Mathematics?

© S. M. Antakov

This article does not contain the answer to the title question, but is only limited to studying its possibility. In particular, the author defends that it is legitimate to pose the fundamental question of the philosophy of mathematics and offers several criteria for such a question. As a first approach we propose the question which is incorrect and requires rectification, but is understandable: “What is Mathematics?”. We consider three groups of strategies of responding to it: 1) the question is naive and does not require an answer; 2) the answer is contained in the mathematical knowledge itself; 3) only philosophy can give the answer. Further rectifications to the basic question are questions about the essence and existence of mathematics. The fundamentalist and cultural-historical philosophy of mathematics gave their not fully satisfactory answers to this question in the past century. The dualism problem of philosophy of mathematics is fundamentally resolved through a certain kind of dialectics, which requires the philosophy of mathematics to submit to metaphysics. The unity of existence and essence is considered in the unity of the subject of dialectic – the mathematician who generates the knowledge as self-realization in a series of existential choices, as a means of saving transcendence – the existence “toward being” rather than “toward nothing”. Positive view of the mathematics turns out to be the explicit expression of negative (non-objective) unity i.e. the subject.
Keywords: the fundamental question of philosophy, metaphysics, fundamentalist philosophy of mathematics, cultural-historical philosophy of mathematics, positive philosophy, dialectics, essence and existence, existential choice, salvation.


На секции «Философия науки». Илкка Ниинилуото, финский логик, член Ассамблеи Конгресса, председатель секции.


С.М. Антаков во время доклада.


Вступительное слово на английском языке перед докладом С.М. Антакова произносит Екатерина Антакова.

Видеозапись доклада С.М. Антакова в Афинах. Видна только нижняя (русскоязычная) часть слайдов презентации

22 мая 2014 года в деревне Лютово под Ярославлем Сергей Мирославович Антаков выступил с докладом «Решение инспирированной Н. А. Васильевым проблемы оснований традиционной (аристотелевой) логики. Образовательное значение логизации традиционной логики».

Смотрите видеозапись выступления и его обсуждения. Выступление комментировали Рэм Александрович Симонов, Сергей Николаевич Бычков, Василий Яковлевич Перминов.

Видеозапись любезно предоставлена Вячеславом Евгеньевичем Пырковым, автором образовательного сайта http://pyrkov.professorjournal.ru/.

Видеозапись выступления С. М. Антакова на Колмогоровских чтениях.

Материал временно скрыт от просмотра.

Опубликовано: Антаков С.М. Трансцендентальная логика и категория нелинейности в установлении единства концепции дополнительности Бора и теоремы о неполноте Гёделя // Седьмые Смирновские чтения по логике: материалы Междунар. науч. конф., Москва, 22-24 июня 2011 г. М.: Современные тетради, 2011. С. 160-161.

Аннотация

Transcendental-logical approach and the nonlinearity category allow finding the united transcendental foundations of mathematics, physics and metaphysics. This way reveals for the first time the unity of the Kantian-Bohrian complementarity in the phenomenal world and the Kantian-Gödelian incompleteness of this world. The arguments are illustrated by the geometric and arithmetic models.

Трансцендентально-логический подход и категория нелинейности позволяют обнаружить единые трансцендентальные основания математики, физики и метафизики. На этом пути впервые раскрывается единство кантианско-борианской дополнительности в феноменальном мире и кантианско-гёделианской неполноты этого мира. Рассуждения иллюстрируются геометрической и арифметической моделями.

* * *

Трансцендентальную логику, если частично отвлечься от исторических обстоятельств появления этого термина, можно определить как логику критически-философского мышления, позволяющую обращаться с неопределёнными и неопределимыми «предметами» вроде души или Бога, если использовать кантианские примеры, но также и актуальной бесконечности, если говорить о философии математики. И если задаться вопросами о происхождении оснований формально-логических систем, причинах их ограниченности и самой возможности таких систем в качестве практически полезных, приближающих фрагменты содержательного знания, то придётся обратиться к трансцендентальной логике.

В рамках этой логики удаётся обнаружить единые трансцендентальные основания физики, математики и самой критической (трансцендентальной) философии. Центральными традиционными вопросами фундаменталистской философии физики и математики (философии, ищущей основания этих наук), как известно, являются, соответственно, концепция дополнительности Бора и теорема о неполноте Гёделя. К анализу этих двух фрагментов знания, метафизический характер которых признавался многими компетентными физиками и математиками, не случайно с наибольшим успехом привлекалась кантианская методология. Кантианское разделение научного (позитивного) и метафизического (негативного) знаний, (научного) знания и (религиозной) веры, феноменального и ноуменального миров, лежащее в основе этого дуализма учение об антиномиях чистого разума и их решение путём гипостазирования вещи в себе, – методология, явным или неявным продуктом которой стали упомянутые два фрагмента физического и математического знания.

Многие авторы высказывали интуитивное мнение о единстве концепции дополнительности и теоремы о неполноте, и следовало бы укрепить это верное мнение по возможности более строгими рассуждениями. Исходным пунктом послужит вопрос об антиномии и парадоксе как двух видах апории. Считается, что антиномия возникает преимущественно в математике, характер связи которой с физикой всегда был предметом споров, а парадокс – в физическом знании. Их легко определить так, чтобы стала очевидной их противоположность. Однако трансцендентальный подход позволяет установить единство антиномии и парадокса, позволяющее говорить о них как об одной апории.

Разъясним природу апории, вводя категорию нелинейности (кривизны) в роли фундаментальной метафизической категории, характеризующей отношение между двумя другими, уже традиционными, фундаментальными категориями – бытием и мышлением (имея в виду рациональное мышление). Этот способ разъяснения многосторонне мотивирован и особенно хорош тем, что имеет простую геометрическую модель, которая служит для понимания наиболее глубокого смысла нелинейности. Другая модель, по-своему привлекательная, является арифметической и представляет собой континуум и его счётные подмножества. Известные догматические (канторовские) представления о континууме не исчерпывают возможное критическое знание о нём.

Как можно показать, попытка полного выражения, или описания, (эмпирического) бытия ведёт к противоречивости научного описания, то есть мышления, которое пытается быть теоретическим (непротиворечивым). Эта ситуация в её физической спецификации рассматривается концепцией дополнительности. И возникла эта концепция только тогда, когда физика – в лице квантовой теории – стала способна к такой полноте описания, которая была недоступна классической физике. С другой стороны, стремление к непротиворечивому описанию опыта ведёт к неполноте описания (теории). Последняя ситуация в её математическом аспекте рассматривается теоремой Гёделя о неполноте формальной арифметики. За определением непротиворечивости, которое используется в этой теореме, надо подразумевать внешний источник противоречия, то есть подразумевать антиномию, а не противоречие-ошибку. Таким образом, полностью раскрывается единство кантианско-борианской дополнительности в феноменальном мире и кантианско-гёделианской неполноты этого мира.

Следующий ниже текст содержит 20,6 тысячи печатных знаков и знаков пробела. Я сократил его до оговорённых 7 тысяч знаков, чтобы послать в виде тезисов на Третью всероссийскую конференцию по философии математики (Москва, 27-28 сентября 2013). Тезисы имели название «Пример математической метафизики: математика, реальность и математический опыт». Небольшой начальный фрагмент, посвящённый связи опыта с реальностью, я в следующем ниже тексте опустил, поскольку его целью было лишний раз подтвердить выбор секции «Математика и реальность».

Математику можно рассматривать как вполне эмпирическую науку, имея в виду самое широкое понятие опыта, при котором математическим опытом являются хозяйственные вычисления древних вавилонян, землемерие древних египтян, манипуляции со счётными камешками древних пифагорейцев. Математический опыт может состояться и тогда, когда люди передвигают не камешки, а камни такие, как глыбы Стоунхенджа. Опыт, приобретаемый в любой деятельности, физической и умственной, поскольку она хотя бы отчасти осознаётся как математическая или служит выработке математического знания, является математическим опытом1.

Позитивная философия, восходящая к О. Конту2 и, далее, И. Канту3, видит в опыте фундамент научного знания. С этой точки зрения к опыту примыкает низший уровень знания – эмпирический, а высший уровень отводится теоретическому знанию. По выражению В.А. Лекторского, у Канта «знание совпадает с опытом», хотя при этом оно понимается Кантом ограничительно4. Противопоставляя опыт и знание, нужно вместе с тем сознавать их единство и относительность, условность границы между ними5. Опыт «низших»6 (чувственного и близких к нему) уровней во многом хаотичен, бесформен. По Канту, в таком опыте «материя чувственных созерцаний» уже оформлена априорными формами пространства и времени. Допустимо говорить и о вполне бесформенном, неупорядоченном опыте, имея в виду то, что Кант называет материей чувственных созерцаний. Будучи бесформенной, она не есть опыт и знание, но относится к знанию-опыту как их предел, или граница, которую можно включать в ограничиваемый континуум или исключать из него.

Неоформленность и многообразие первичного опыта таковы, что попытки дать его общие характеристики, такие как непротиворечивость и полнота, попытки осмыслить опыт, подведя его под систему строгих понятий, сталкиваются с апориями (парадоксами и антиномиями). К сожалению, Кант не видел, но мог бы видеть это, поскольку хотя бы история учений о свете должна была быть ему известна. В этой истории корпускулярная теория И. Ньютона конкурировала с волновой теорий Х. Гюйгенса. Как известно уже нам, спор о природе света нашёл своё относительное завершение в концепции дополнительности Н. Бора.

Ограничившись первоначальным не рефлексируемым7 опытом, мы не получим апорий, о таком опыте нельзя сказать, что он противоречив или неполон сам по себе. Таковым его делают попытки истолкования в свете знания (в частности, теоретического) как инструмента достижения практических целей. Наши высказывания об опыте, т.е. наше улавливание опыта в сеть наших понятий может породить видимость противоречивости и неполноты опыта.

Исходя из разных соображений, я называю указанное обстоятельство нелинейностью опыта относительно мышления (в частности, теоретического, требующего запрета противоречий). Последнее из таких соображений заключается в том, что рассматриваемое отношение между опытом и мышлением разъясняется простой математической (геометрической) моделью, или аналогией, или метафорой, в которой опыт представляется кривой, понятийное мышление об опыте – вписанной или описанной ломаной прямой. Один из мотивов принятия этого термина в метафизике – признанное значение категории нелинейности в естествознании и математике8. Достигая высшего уровня обобщения, я понимаю метафизическую нелинейность как «нелинейность» бытия относительно мышления. Парменидово тождество бытия и мышления я рассматриваю как «линеаризацию» («выпрямление») бытия, которой на уровне частного знания соответствует математико-физическая линеаризация (упрощение) естественнонаучного опыта.

Надо заметить по поводу принятия указанного нового термина, что использование математических аналогий в метафизике является законным и лучшим приёмом сделать метафизические идеи ясными и потому убедительными. Применение математики в философии (математизация философии) не исчерпывается логической дедукцией по образу спинозианской «Этики». То, что обычно считают математизацией философии, есть всего лишь её логизация. Математики убедительны благодаря своим теоремам, но в философии этот путь не ведёт к успеху. Есть иной, подлинно математический способ убеждения в философии – это математическое моделирование, аналогия.

Конечно, аналогия может приводить к ошибкам и в математике, и в физике, однако без неё научное познание было бы невозможным, что показывает, например, история стандартной модели Вселенной, одним из оснований которой стал закон красного смещения, открытый Хабблом. Не используя аналогию, невозможно было бы интерпретировать закон Хаббла с помощью эффекта Доплера, т.е. истолковать красное смещение как свидетельство расширения Вселенной.

Приведу несколько примеров нелинейности опыта. Проделав некоторые физические опыты со светом, мы можем сказать, что свет есть корпускулы. Проделав другие опыты, мы делаем заключение, что свет есть волны. Но мы при этом помним о том, что сказали раньше, – мы соединяем предложения «свет есть корпускулы» и «свет есть волны» («свет не есть корпускулы») и замечаем противоречие. Его можно было бы решить до всякой теории и не выдвигая концепцию дополнительности (или двойственной истины), а просто признав ограниченность логики (логического понятийного инструмента), ограниченность её притязаний на вневременность и повторяемость, к которой нас, помимо прочего, приучил воспроизводимый физический опыт. В таком случае мы могли бы сказать, что предложение «свет есть корпускулы» не должно образовать логическую конъюнкцию с предложением «свет есть волны» («свет не есть корпускулы»), так как первое сказано в другое время и, вообще, в другой ситуации, чем второе. А если бы мы выразили наши впечатления от опытов со светом в другой грамматической форме, могли бы по-другому (метафизически) избавиться от логического мнимого противоречия. Именно, можно сказать «свет является корпускулами» и «свет является волнами» и понимать глагол «является» не как связку, замещающую глагол «быть», а как выражение отношения между таинственной сущностью (причиной) и явлением (действием).

Другой пример той же нелинейности опыта относительно логического мышления возникает при попытках теоретизации (логизации и математизации) движения. Расскажу об этом предельно кратко. Противоречивость теоретизации выражается апориями Зенона. Движение – то, что нам дано в нашем опыте. Попытки выразить движение в логических или математических9 понятиях приводит к известным апориям (противоречиям). Относительно апорий может быть два знания или «теории». Согласно одной, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Согласно другой, Ахиллесу не надо делать и одного шага, чтобы догнать её (он всегда един с ней).

Отношение двух теорий может характеризоваться по-разному. Существенные виды такого отношения – противоречие (одна теория может противоречить другой) и несоизмеримость (как она понимается постпозитивистами), или неполнота. Действительно, теоретическое знание может быть неполным относительно другого знания, в частности, опытного. Иными словами, я выделяю два фундаментальных отношения между когнитивными единствами (знаниями любого рода), соответствующих двум фундаментальным характеристикам всякого научного знания – непротиворечивости и полноте. Они приложимы как к естественным, так и к историческим знаниям, но строгие определения их были получены только в математике и только в ХХ веке благодаря развитию метаматематики.

В качестве следующего примера можно заметить, что арифметика (натуральных чисел) неполна относительно элементарной геометрии, и это только иной способ сказать, что арифметика несоизмерима с геометрией. При этом название («несоизмеримость») отношения между стороной и диагональю квадрата (или других несоизмеримых отрезков) переносится на отношение между когнитивными единствами. Неполнота арифметики заключается в том, что отношения некоторых геометрических объектов (отрезков, фигур и др.) не могут быть выражены отношением натуральных чисел. Арифметическая реальность, наполненная числами, оказывается беднее, чем геометрическая реальность. Этот пример нелинейности (геометрического или топологического наглядного) опыта относительно теории (вычисляющего мышления) относится уже не к физике, а к математике. Я продемонстрирую относительность эмпирическо-теоретического различия, если вслед за этим скажу: опыт вычислений (измерений своего рода) и опыт собственно измерений породил две математические теории – арифметику и геометрию. С самой общей исторической и социальной точки зрения, это был единый опыт, но в свете двух теорий – арифметики и геометрии – обнаружилась фрагментарность этого математического опыта. Отношение между соответствующими фрагментами не есть отношение противоречия, но есть отношение неполноты (несоизмеримости). Если же говорить не об эмпирической, а о теоретической математике, то последняя, а именно, единая псефическая10 математика пифагорейцев, разделилась на теоретические арифметику и геометрию в ответ на «проблему иррациональности», поставленную пифагорейским открытием несоизмеримости11.

Наконец, есть ещё пример нелинейности обыденного опыта, относящийся к нашей оценке поведения той или иной личности. Наблюдая её в одной ситуации, мы наивно сделаем заключение о её доброте. В другой ситуации мы способны повесить на человека ярлык («сущность», «природу») «злой». Каков же он «на самом деле»? Этот вопрос можно представить и как проблему экзистенциальной философии, решающей её согласно тезису «существование предшествует сущности», аналогичную, как можно показать, физической проблеме корпускулярно-волнового дуализма, как она решается в копенгагенской интерпретации квантовой теории.

В связи с теоремой о несоизмеримости (иррациональности) – простым аналогом теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики12 – заметим аналогию (пропорцию): арифметика так относится к геометрии, как теория к эмпирии. Иным словами, моделью отношения между теорией и эмпирией является отношение арифметики к геометрии, выражаемое теоремой о несоизмеримости. Эта модель даёт дополнительную возможность тесно и очевидным образом связать теорему о неполноте Гёделя с дополнительностью Бора, а независимое доказательство их трансцендентального единства (я оставляю его за пределами данной публикации, которая не должна быть слишком длинной) сделает её ещё более убедительной. В самом деле, поскольку теоретические арифметика и геометрия могут развиваться независимо друг от друга, как это случилось после открытия несоизмеримости, хотя бы арифметика и была неполна относительно геометрии, теория и эмпирия уравниваются в правах в силу указанной аналогии. Если теория противоречит эмпирии, то не обязательно отбрасывать теорию, это противоречие можно рассматривать как парадокс, т.е. как нечто терпимое, такое, к чему нужно привыкнуть. Можно решить универсальное противоречие в духе борианской дополнительности, предложив считать, что теория даёт рациональный (умозрительный) аспект предмета, а эмпирия – его видимый (зримый) аспект13. Например, противоречие между предложениями «Свет есть волны и не есть корпускулы» и «Свет не есть волны, а есть корпускулы» решается признанием их наивно-догматического характера и заменой критически-усложнённым выражением как будто тех же (но тем самым уже и других) мыслей: «Свет является (нам) волнами при использовании нами спектрального анализатора» и «Свет является (нам) корпускулами при использовании нами счётчика корпускул (фотонов)». Теория теперь уравнивается в правах с эмпирией (хотя бы потому, что и осмысленный опыт может быть противоречив, как показывает парадокс корпускулярно-волнового дуализма), тогда как в классической рационалистической (и «позитивной») традиции эмпирия считалась её судьёй. Впрочем, у Парменида – наоборот, умозрение, не согласное с эмпирией, отвергает эмпирию как иллюзию. Концепция дополнительности, как и философия Канта, к которой она логически может быть возведена, уравнивает эмпирическое и рациональное начала познания. Вопрос о том, почему свет имеет такие противоположные, несовместимые «проекции», как волны и корпускулы, объявляется в рамках концепции дополнительности некорректным, поскольку он не имеет ответа, так как «свет в себе» (свет, как он есть сам по себе) непознаваем. Нельзя спрашивать о непознаваемом, – такова модификация Парменидова запрета противоречия, запрета, оправдываемого тем, что вопрошание о непознаваемом ведёт к противоречиям (противоположным ответам).

Таким образом, эмпирия (физический опыт), его нелинейность, вывела свет из области имманентного в область трансцендентного, из области собственно научного в область метафизического, что можно представить как частичный возврат к средневековой «метафизике света». Оправдание этого шага – разрешение парадокса дуализма света. Так и противоречивость, неудовлетворительность жизненного (социального) опыта Платона привела его мышление к «прорыву» в трансцендентный мир. Иными словами, релятивизм, который софисты обосновывали противоречивостью чувственного опыта, привёл к своей противоположности – абсолютизму (и идеализму). Схема этого «прорыва» та же, что в онтологическом аргументе Ансельма, гипостазировавшего Бога, и Канта, положившего объективную иррациональную «вещь в себе» вне феноменального мира (мира сознания). Вполне обоснованным было бы заявление: Кант в своей Первой «Критике» по-своему выразил глубокую мысль, ровно через 150 лет повторённую Гёделем в отношении только арифметического знания. Кант по существу утверждает её в отношении всякого научного (теоретического) знания: (если) такое знание непротиворечиво, (то) оно неполно – ограничено извне метафизикой и метафизической истиной веры. Он решает антиномии чистого разума, гипостазируя непознаваемую «вещь в себе»14 (которая ни вещью, ни даже предметом, конечно, не является), однако именно это (Антиномия) служит неявным и нефундаменталистским обоснованием её гипостазирования.

Та же схема незримо присутствует и в общепринятой интерпретации теоремы о неполноте Гёделя («формальная арифметика неполна»), ибо переход к недоказуемой истине, по существу являющийся актом веры (веры в непротиворечивость арифметики и, следовательно, истинность предложения Гёделя), подобен гипостазированию Бога в моей интерпретации онтологического аргумента. В обоих случаях появляется трансцендентный объект (субъект15), своим бытием примиряющий и порождающий имманентные противоречия16. В примере со светом механизм устранения логической противоречивости опыта даётся борианской (кантианско-борианской) концепцией дополнительности.


1 Вообще опыт можно понимать так, как это делают сторонники прагматизма – как поток (содержания) сознания. вернуться к тексту
2 Когда Конт пишет «Все наше знание происходит из опыта, им ограничивается, и выйти за его рамки невозможно», он обнаруживает в себе кантианское влияние. вернуться к тексту
3 К Канту возводится не только позитивная, но и «негативная» (экзистенциальная) философия. вернуться к тексту
4 Лекторский В.А. Опыт // Новая философская энциклопедия http://iph.ras.ru/elib/2194.html. Полная цитата: «В философской системе Канта знание совпадает с опытом. Мысленные образования, предмет которых не может быть включен в систему опыта, в частности идеи Бога, трансцендентального Я, мира в целом, не могут претендовать на знание (хотя эти идеи и играют важную роль в познании и нравственной деятельности). Вместе с тем понимание опыта у Канта весьма отлично от эмпиристского». вернуться к тексту
5 См.:
Коген Г. Теория опыта Канта / Пер. с нем. В.Н. Белова. М.: Академический Проект, 2012. 618 с.
Пома А. Критическая философия Германа Когена / Пер. с ит. О.А. Поповой. М.: Академический Проект, 2012. 319 с.
Гутнер Г.Б. Форма и содержание опыта // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Изд-во МГУ, 2003. С. 435-467. вернуться к тексту
6 «Низших» – если согласиться с позитивистами и эмпиристами, ставящими опыт ниже знания, хотя это совсем не обязательно. вернуться к тексту
7 «Согласно Э. Кассиреру, рефлексия заключается в «способности выделять из всего нерасчленённого потока чувственных феноменов некоторые устойчивые элементы, чтобы, изолировав их, сосредоточить на них внимание» [Кассирер Э. Избранное. Опыт о человеке. М., 1988. С. 486]» (http:// ru.wikipedia.org/wiki/Рефлексия#cite_ref-Kassirer0_1-0). вернуться к тексту
8 Подтверждением последнего может служить диссертация В.И. Сырова «Линейное и нелинейное как общенаучные категории» и его публикация: Сыров В.И. Физика нелинейных явлений и современный детерминизм. http://filosofia.ru/70541/. вернуться к тексту
9 Как заметили Г. Вейль, Д. Гильберт и П. Бернайс, вопреки расхожему мнению математический анализ (суммирование бесконечных рядов) не решает апории Зенона вроде «Дихотомии» и «Ахиллеса». вернуться к тексту
10 От греческого «псеф» – счётный камешек. Первые пифагорейцы складывали из них числа, характеризуемые не только количеством, но и геометрической (например, треугольной) формой. вернуться к тексту
11 См.: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Изд. 2-е. Пер. с нем. и доп. И.Б. Погребысского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. вернуться к тексту
12 Эту аналогию я могу обосновывать, что необходимо ввиду того, что, например, известный знаток теоремы о неполноте Гёделя, давший её теоретико-вычислительное доказательство, В.А. Успенский в нашей краткой переписке с ним (21–24 июня 2011) её отрицал. Мои аргументы остались ему неизвестными, поскольку он ими не интересовался. вернуться к тексту
13 К подобной редкой интерпретации учения Парменида склоняется А.Ф. Лосев. См.: Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. Изд. 2-е, испр., доп. М.: Ладомир, 1994. С. 301-312. вернуться к тексту
14 То, что Кант решает антиномии чистого разума именно указанным образом, можно подтвердить прямым указанием на это В.Ф. Асмуса (Асмус В.Ф. Диалектика в философии Канта // Асмус В.Ф. Избранные философские труды. Т. 2. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1971. С. 59-76), чья ясная интерпретация кантианства в своё время существенно облегчила мою работу. вернуться к тексту
15 Предложение Гёделя я рассматриваю как формальную модель субъекта – «лжеца» из антиномии лжеца. Это согласуется с интерпретацией кантианской «вещи в себе» как субъекта, возможность чего утверждалась Н. Бердяевым (Бердяев Н.А. Проблема познания и объективация // Кант: pro et contra. Рецепция идей немецкого философа и их влияние на развитие русской философской традиции. Антология / Сост. А.И. Абрамов, В.А. Жучков. Предисл. и комм. В.А. Жучков. СПб.: РХГИ, 2005. С. 687-709). вернуться к тексту
16 Согласно модели К. Поппера, знание развивается благодаря тому, что субъект знания разрешает перманентно возникающие противоречия (апории), которые, в свою очередь, возникают по причине развития знания, субъектом которого (развития) является тот же субъект. Правда, Поппер выражает эту здравую мысль иным языком, он не говорит о субъекте знания и остаётся в рамках «позитивной» (эмпиристской) эпистемологии. За «контекстом открытия», от рассмотрения которого Поппер принципиально отказывается, кроется именно субъект познания. Обращаясь исключительно к «контексту обоснования», Поппер и обнаруживает позитивистский характер своей методологии. вернуться к тексту

Материал временно скрыт от просмотра.

Антаков С.М. Наука как экзистенция // Вестник Нижегородского
университета им. Н.И. Лобачевского. No. 1 Часть 3. Н.Новгород: Изд-во
ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2012. С. 81-88.

Аннотация: Наука в её экзистенциальном аспекте не стала в полной мере предметом философии науки, но подходы к этому уже намечены. Главным средством при этом оказываются категории фундаментализма, нефундаментализма и модернизма. Не менее важно разделить логический и математический аспекты философского образа науки. В качестве методологической опоры работы выбрана немецкая классическая философия.

Ключевые слова: антиномия, кризис, новация, модернизм, неопозитивизм, постпозитивизм, разум, революция, фундаментализм, экзистенциальная философия.

1. Непредметный аспект науки

Термин «наука» имеет три главных словарных значения: 1) научное знание, 2) научная деятельность, производящая научное знание, и 3) наука как социальный институт. Они хорошо известны, поэтому тема «Наука как знание» была бы всем понятна (но и не интересна). Однако приходится разъяснять, чтó автор понимает под наукой как экзистенцией. Неопозитивизм и постпозитивизм – две наиболее влиятельные в ХХ веке философии науки – имеют общую позитивистскую направленность, хотя их подходы к науке диаметрально противоположны. Именно наука как знание, то есть как предмет, который можно передать другому, является предметом неопозитивизма, а наука как деятельность стала предметом постпозитивизма. Конечно, рассматривая науку как деятельность, постпозитивизм не может отвлечься и от субъекта этой деятельности. Однако субъект в данном случае редуцируется к «социальному институту», опредмечивается, то есть оказывается не подлинным субъектом. Задача преодоления такого позитивистского по существу подхода оправдывает тему «Наука как экзистенция».

Наука как экзистенция всегда ограничивалась «парадигмами», запретами, логическими, математическими и прочими формами. Поэтому историю науки необходимо представить как борьбу с ограничениями, имеющую характер софистической (просветительской) борьбы против сковывающих традиций, против консерватизма и замшелых авторитетов. Экзистенциальный характер науки, её активизм и прагматизм (устремлённость к благу, особенно возвышенно-духовному) ярко выражен русским космизмом, по существу фундированным немецкой классической философией. Так, согласно К. Ясперсу, принадлежащему немецкой философской традиции, наука есть рациональное самосознание, ориентирующее в мире и само ориентированное на идеал целесообразного переустройства мира и практического создания жизненно необходимых благ 1.

Экзистенциальный характер науки позволил ей успешно конкурировать с религией, начиная с Нового времени, и дать людям новую, сциентистскую и в определённом смысле антропоцентричную, веру. Поэтому желательно положить в основу изложения истории науки определения науки не столько как знания и соответствующей деятельности, сколько как субъекта этой деятельности. Да и сама научная деятельность при этом должна рассматриваться шире, как деятельность, не только производящая знание, но и целеполагающая, этическая.
More »