[Часть 1] [Часть 2]

4. Парадокс критериев случайности. Абсолютный и относительный предметы
5. Индетерминизм и детерминированный хаос. Незыблемость лапласовского детерминизма
6. Эпистемическая асимметрия и проблема детерминизма

4. Парадокс критериев случайности. Абсолютный и относительный предметы

Если последовательность предъявлена нам, то мы можем отвлечься от того, что она – числовая. Мы видим в ней последовательность цифр, то есть букв, символов, интересных не сами по себе («в себе» или «для себя»), а своими различиями («для нас»). Данная нам последовательность предстает перед нами как относительная последовательность (предмет), члены которой имеют значение не сами по себе, как отдельно взятые числа, а лишь в сравнении с другими членами. Имеют значение лишь различия элемента относительно других элементов. Чтобы решить, случайна ли эта последовательность, можно воспользоваться любым математическим критерием случайности. Для этого мы должны сравнить ее элементы друг с другом и не задаваться вопросом о происхождении, о механизме порождения каждого отдельного элемента. В этом смысле все критерии носят эмпирический характер. По некоторым из них последовательность может оказаться случайной, а по другим – закономерной. Но она может быть случайной или закономерной по своему происхождению, и обе оценки – по основанию внешности («поверхности») и по основанию порождения (истории, «глубины») – могут не совпадать, противоречить друг другу.

Так, при мысленном бросании абсолютно идеальной монеты может выпасть последовательность из N «орлов» (000…0). Ее вероятность ничуть не меньше, чем вероятность любой другой последовательности (серии), полученной при N бросаниях той же монеты. Однако по относительным, «поверхностным» критериям случайности (а все они таковы) эта последовательность (000…0) должна быть признана абсолютно закономерной (детерминированной).

И обратно, чтобы последовательность удовлетворяла всем эмпирическим («поверхностным») критериям случайности, она должна была бы быть в высшей степени искусственной.

Подлинно случайная, естественно случайная последовательность есть та последовательность, элементы которой получены с помощью случайного «механизма» вроде идеальной монеты, кости, рулетки и т. п. Но когда мы не знаем механизма порождения элементов, мы заменяем вопрос о том, является ли по существу эта последовательность случайной, вопросом о том, кажется ли она случайной, и решаем этот последний вопрос с помощью рациональных, имманентных критериев случайности, которые я квалифицировал как эмпирические и поверхностные.

Так материальный вопрос мы заменяем формальным (практическим), и, в соответствии с этим, материальную, абсолютную последовательность (ту, в которой важны элементы сами по себе) по существу подменяем формальной, относительной (той, в которой важны различия, отношения между элементами). Но эти вопросы не эквивалентны. Как я только что показал, ответы на них для одной и той же последовательности могут противоречить друг другу: закономерная последовательность может показаться случайной, а случайная – закономерной. Вот почему возникают вопросы вроде «Случаен ли исход бросания монеты?»¹¹.

5. Индетерминизм и детерминированный хаос. Незыблемость лапласовского детерминизма

Принято считать, что три открытия в физике ХХ века были самыми неожиданными и потрясающими основы. Таковы специальная теория относительности, квантовая механика и динамический хаос, интенсивное исследование которого началось в 1960-е годы¹². Последнее открытие заключается в том, что хаотическое (якобы случайное, принципиально непредсказуемое) поведение характерно для классических (макроскопических) механических систем даже с небольшим числом степеней свободы (то есть простых), которые описываются детерминированными дифференциальными уравнениями. Ранее принципиальная возможность точно предсказывать поведение таких систем казалась несомненной. Ограниченность естественнонаучного (математического) подхода связывалась прежде всего с необходимостью упрощенного формального описания. Считалось, что адекватная (не упрощённая) модель при наличии достаточно мощного компьютера позволила бы точно рассчитать поведение системы. Оказалось, однако, что математические модели не могут дать полное (то есть однозначно предсказывающее) описание природных явлений. На определенном этапе эволюции системы, фазовое пространство которой содержит странный аттрактор, в ней может возникнуть хаос, что делает ее поведение принципиально случайным.

Эта ситуация в физике подобна открытию логической неопределенности (своего рода логического индетерминизма) в математике, каким представляется доказательство теоремы Гёделя о неполноте (1931 г.) Тогда выяснилось, что для любой конечной системы аксиом (содержащей аксиомы арифметики) существует предложение Гёделя, о котором невозможно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Системы уравнений, решения которых ведут себя по видимости случайным образом (то есть «сильно» зависят от начальных условий), подобны таким математическим системам. Предложение Гёделя, а также странные аттракторы, показывают будто бы ограниченность рациональных (дедуктивных) методов.

Ну разве открытие динамического хаоса не подтверждает объективный индетерминизм и не подрывает детерминизм? Ведь некоторые простые макроскопические механические системы описываются системой уравнений, решение которых неустойчиво (сильно зависит от начальных условий) и потому случайно (непредсказуемо). Это означает, что малое (и даже практически необнаружимое, незаметное) изменение начального состояния системы вызывает через конечное время сколь угодно большое изменение конечного состояния. Понятие неустойчивости переносится на модель и (поскольку предполагается соответствие модели физическому процессу) реальный моделируемый объект. Разве такая неустойчивость не дискредитирует идею детерминизма?

Отнюдь нет, потому что сомнительна адекватность распространенного идеологического толкования детерминированного хаоса. Предсказуемость физической системы означает совпадение (с некоторой заданной погрешностью) измеренного конечного состояния этой системы с вычисленным состоянием моделирующей (математической) системы для соответствующего (финального) момента времени. Из-за неустойчивости модели, как она определена выше, и принципиально неустранимой погрешности любых измерений физическая система оказывается непредсказуемой.

Но на самом деле авторы, пишущие о динамическом («детерминированном») хаосе, явно подразумевают математическую непредсказуемость, то есть непредсказуемость не реальных физических систем, а самих математических моделей. Что значит такая непредсказуемость? Кажется, что поведение математической модели всегда предсказуемо: начальное состояние модели не измеряется, а задается и может повторяться (задаваться) сколько угодно раз в точности тем же самым. А при одних и тех же начальных состояниях результаты вычисления конечного состояния в точности повторяются для любой модели, даже когда она описывает вполне хаотическое («непредсказуемое») поведение.

Сущность открытия детерминированного хаоса часто описывается таким образом: «Многие простейшие системы, как оказывается, обладают исключительно сложным и непредсказуемым поведением»¹³. Но в этой фразе заключается ложь-противоречие. Никакая реальная система, обладающая «исключительно сложным и непредсказуемым поведением», именно в силу последнего обстоятельства не является простой. Противоречия нет, если под «простейшими системами» понимаются математические модели, а не реальные системы, а все предложение в целом имеет смысл предложения: «Многие простейшие математические системы (модели), как оказывается, описывают исключительно сложное и непредсказуемое поведение реальных систем». Вместе с тем они, как и любые математические модели, сами по себе предсказуемы в смысле точной повторяемости конечных состояний при повторении начальных состояний.

Указанное противоречие также устраняется, если изменить смысл (понятие) предсказуемости математической модели. Вчитываясь в предложения, посвященные динамическому хаосу¹⁴, можно узнать из их контекста, что предсказуемость математической модели (да и моделируемой системы) понимается как периодичность поведения (повторяемость последовательных состояний) модели или, скорее, как интуитивная предсказуемость поведения модели на основании замеченной периодичности в ее поведении. Если, например, модель может находиться всего в двух состояниях, которые я назову 0 и 1, то периодичность может состоять в повторяемости циклов 01, или 101, или 1110 и т.п. Тогда «динамика» модели описывается последовательностями 01010101…, или 101101101101…, или 111011101110…, в которых, после уяснения их закономерности (периодичности), можно предсказать каждое следующее состояние (символ 0 или 1). Если же повторяющийся цикл слишком длинный, то, с точки зрения интуиции, поведение модели оказывается непредсказуемым (хаотичным). Возможны и принципиально непредсказуемые в этом смысле, то есть непериодические, модели, поведение которых, как можно сказать, описывается одним, но бесконечным, циклом. Так двоичное (или десятичное) разложение рациональных чисел предсказуемо, ибо периодично, а иррациональных чисел – непредсказуемо, ибо непериодично.

Такую, математическую и, что важнее всего, интуитивную, предсказуемость можно перенести на реальные физические системы, поведение которых называется хаотическим. Например, на явления турбулентности в водопаде или воздушном потоке. Это в какой-то мере оправдывает физиков, когда они имеют дело с математическими моделями (уравнениями) и математическими экспериментами (вычислениями), но говорят при этом о реальных системах.

Строго говоря, интуитивная предсказуемость не является законным научным понятием. Физики же по-прежнему (не обращая внимание на философскую методологию) отождествляют предмет теории с действительным объектом, математическую модель (образ) – с ее реальным прообразом. Фактически речь ведется лишь о предсказуемости либо непредсказуемости (случайности) поведения математической системы и о практической полезности математического аппарата и методов решения механических задач. Однако, основываясь на интуитивной (субъективной) непредсказуемости теоретического поведения системы относительно принятых моделей и методов, физики незаметно переходят к утверждениям о якобы существующей объективной непредсказуемости, объективном индетерминизме. Отождествление модели и моделируемого ведет к отождествлению интуитивной (субъективной) и математической (объективной) непредсказуемости. Причем последняя, как было сказано выше, основывается на погрешности измерения начального состояния реальной системы.

Если бы модель могла быть вполне адекватна (то есть тождественна) моделируемому, то в силу этого тождества моделируемое оказалось бы абсолютно предсказуемым и детерминированным, даже если бы это была турбулентность и прочие явления хаоса. Сам термин «детерминированный хаос» указывает на это, и сам этот термин противоречит принятой интерпретации, согласно которой из теории детерминированного хаоса делается вывод об объективности индетерминизма. Лапласовский детерминизм (ультрадетерминизм), исходящий из предположения о тождестве модели и моделируемого, вопреки современной «научной» (некритической и потому ненаучной) идеологии, не терпит ни малейшего ущерба от открытия динамического хаоса. Демон Лапласа, как Бог, мог бы знать судьбы людей. Только знание человеком своего будущего, то есть судьбы, невозможно в силу антиномии, связанной с лапласовским детерминизмом.

Таково положение с детерминизмом (индетерминизмом) и в квантовой механике. Теорема о невозможности скрытых параметров, когда-то доказанная фон Нейманом, не означает невозможность детерминистического описания микроскопических систем (явлений). Позднее формулировка теоремы была уточнена так, что стало ясно: детерминизм можно сохранить ценой отказа от концепции локальности квантовомеханических взаимодействий. Не случайно, что эта дилемма детерминизма и локальности подобна дилемме полноты и непротиворечивости, обнаруженной благодаря теореме Гёделя о неполноте: в основании обеих лежит математическое понятие двойственности.

Даже если математика принципиально не способна будет решить проблему неустойчивости задач, связанных с теоретическим эффектом детерминированного хаоса, и это тоже будет доказано, даже и тогда детерминизм останется незыблемым. Именно потому, что модель (наше средство корыстного, но и бескорыстного познания мира) не тождественна моделируемому. Древнее определение случайного как непознанного и, соответственно, определение индетерминизма как неполного знания (пусть принципиально неполного, всегда неполного, непополнимого) – остаётся верным. Его неправомерно опровергали тем, что наука якобы «докопалась» до объективного индетерминизма.
Но это – заблуждение, вытекающее из отождествления образа и прообраза, предмета теории и реальности, характерное для «естественной» установки всех людей вообще и исследователей в частности. Это временная победа противоположной идеологической установки, которая прибегла к софистической уловке, использовав научные открытия вместе с их произвольной интерпретацией. Научные открытия новы, да интерпретации стары – их ветхость маскируется новизной научных открытий.

Детерминизм – неотъемлемый элемент научного метода. Наука принципиально не может подорвать веру в детерминизм и предопределенность мира у того, у кого есть эта вера и вместе с тем способность разоблачить софистические (ниспровергающие традиции, просветительские) интерпретации научных теорий. Наука пока лишь в очередной раз подтверждает неспособность человека предсказать свою судьбу, и она не стала силой, способной поставить человека на место Бога.

6. Эпистемическая асимметрия и проблема детерминизма

Существует концепция полного знания, согласно которой знание объективно и не производится, а лишь передается или осознается, преобразуется по форме и сохраняется. Определенное (конкретное) бытие и есть знание, впрочем, не всё знание. То есть истина как «естина» (онтологическая истина) и есть знание (но не всё знание). Универсализованный тезис преформизма утверждает, что в историческом начале Вселенной, в ее «начальных условиях» (начальном состоянии космологической сингулярности) имелось всё знание о ее будущем. Это знание просто и потенциально. По мере эволюции Вселенной оно преобразуется (усложняется) и частично актуализируется, но сохраняется.

Так в нескольких аксиомах и правилах вывода содержится потенциальное знание теории, число выводимых теорем которой может быть бесконечным. Так в правилах шахматной игры содержится потенциальное знание всех возможных шахматных партий, или полной шахматной теории.

Но знание данной шахматной партии (скажем, записанной с помощью шахматной нотации) и даже знание произвольно большого числа подобных партий не эквивалентно знанию правил шахматной игры. Наблюдая любое конечное число реализаций игры, правила которой заранее не известны, невозможно достоверно выяснить, каковы эти правила, и судить о правильности каких бы то ни было других реализаций. Нетрудно доказать, что две тождественные реализации могут быть порождены двумя нетождественными играми (с разными правилами), в общем порождающими нетождественные реализации. Следовательно, знание некоторых игровых партий не эквивалентно знанию всех возможных партий той же игры: из первого не всегда можно получить второе.

Так же нельзя узнать число (рациональное или иррациональное) по его приблизительному значению (например, по первой тысяче цифр его десятичного разложения). Так и законы (или правила) естественного языка, управляющие производством речей и текстов, даже если бы они существовали в виде вечных и неизменных Платоновых идей, не могут быть выведены из конечной совокупности их манифестаций (в речах и текстах). Так что лингвисты никогда не останутся без работы.

Все указанные теоретические факты суть примеры всеобщей эпистемической асимметрии (в данном случае – вечных правил или законов и их конечных реализаций) и имеют непосредственное отношение к проблеме детерминизма, что открывает еще один аспект связи преформизма и детерминизма¹⁵.

А. Тьюринг в известной статье «Может ли машина мыслить?»¹⁶ убеждает читателя в неопровержимости тезиса о полной детерминированности объекта (человека) естественными законами. Если кто-то будет утверждать, что исследовал поведение данного объекта и установил, что оно не является вполне детерминированным (предсказуемым), то Тьюринг мог бы ему возразить: суждение об индетерминированности ложно, так как оно неправомерно подменяет истинное утверждение о незнании детерминирующих законов. Вот что он пишет с точностью до перевода:

«Единственно известный нам способ отыскания таких законов есть научное наблюдение, и, конечно, мы никогда и ни при каких обстоятельствах не можем сказать: «Мы уже достаточно исследовали. Законов, которые полностью бы определяли нашу жизнь и поведение, не существует». Мы можем с большой убедительностью показать, что любое утверждение такого рода является неоправданным»¹⁷.

В подтверждение этого Тьюринг пытается, однако, доказать нечто иное, противоположное, как если бы он действовал методом «от противного». Он замечает, что, если бы поведение некоторого эмпирического объекта (им может быть человек или машина) было полностью детерминировано некими законами или правилами, то это (а значит, и сами законы) невозможно было бы установить научным путем, то есть наблюдая поведение этого объекта. Иными словами, невозможно было бы предсказывать (подразумевается точное предсказание) его поведение после наблюдения последнего в течение сколь угодно длительного периода времени. (Таким образом, познание законов природы оказывается бесконечным.)

Для иллюстрации этого тезиса Тьюринг ссылается на известную ему простую (порядка 1000 команд) программу (машину), которая в течение двух секунд перерабатывает всякое данное 16-значное число в некоторое другое 16-значное число. Он уверен, что и за 1000 лет наблюдений (которые дадут порядка 10¹⁰ реализаций программы, то есть «научных фактов») никто не сможет узнать эту программу, так чтобы предсказывать ее ответы на любые еще не испробованные числа¹⁸.

Можно согласиться с тем, что детерминированность объекта нельзя ни верифицировать (подтвердить), ни фальсифицировать (опровергнуть), исходя только из наблюдений. Ведь это положение подобно антиномиям чистого разума, в которых речь идет о недоказуемости и неопровержимости (или, что то же самое, о доказуемости и опровержимости) тезисов и антитезисов антиномий, включая антиномию детерминизма (третью из четырех). Однако подлинная мысль Тьюринга такова: невозможно научно (эмпирически) удостовериться в том, что человек – индетерминированный объект (то есть не является машиной), потому что невозможно научно удостовериться в том, что детерминированный (по допущению) объект детерминирован. Эта мысль, этот переход не ясен. Понятно, что удостовериться в детерминированности эмпирически нельзя, но следует ли из этого, что ее нельзя опровергнуть? В антиномиях Кант доказывает тезис и антитезис методом «от противного», но Тьюринг рассматривает не доказательство, а опытное удостоверение.

Проблема возможности эмпирической верификации или эмпирической фальсификации детерминизма в ее очищенной, абстрактной форме приводит к математической проблеме, поставленной в ходе исторически длительного «спора о функции»¹⁹. Я имею в виду проблему существования «беззаконной функции». Анализируя конечный ряд значений функции натурального аргумента, нельзя установить, является ли данная (вся, определенная на бесконечном множестве натуральных чисел) функция детерминированной или же (абсолютно) случайной (беззаконной).

Всякая конечная последовательность чисел или цифр детерминирована, ибо может быть «предсказана» (после того, как она появилась и была запомнена), но каждый ее последующий вновь появляющийся элемент достоверно непредсказуем (хотя, может быть, предсказуем с некоторой вероятностью), то есть индетерминирован. Если ряд порожден искусственной (созданной и искусственно, например, машинно реализованной) функцией, то его можно предсказать, зная эту функцию (заданную либо аналитически, формулой, либо численно, таблицей). Если же он порожден естественным процессом, «естественной функцией», то его невозможно предсказать с достоверностью. Последнее есть не что иное, как одна из формулировок проблемы индукции, в целом же описанное затруднение приводит к парадоксу Диодора Кроноса²⁰.

Представление об индетерминизме – продукт незнания детерминизма, выражаемого в законе или правиле. Но это незнание объективно, его источник – эмпирическая (чувственная и временнáя), вообще конечная, природа человека. Тогда объективен и сам индетерминизм.

Здесь начинается один из путей к основаниям научного мышления посредством трансцендентально-логических модальностей²¹ и, в частности, к интуиционистской критике закона исключенного третьего и парадоксам Брауэра. Это позволяет замкнуть формальный круг антиномиями чистого разума: с них я начинал тему детерминизма, а парадоксы Брауэра суть их философско-математические проекции²².

---

¹¹ Форд Дж. Случаен ли исход бросания монеты? // Физика за рубежом. 1984 А. М., 1984. С. 186-209.
¹² См.: Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки. Пер. с англ. СПб.: Амфора, 2001.
¹³ Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки. С. 16.
¹⁴ См., напр.: Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки. С. 95 сл.
¹⁵ Существует теологический аспект указанной асимметрии: это асимметрия отношения между Богом и человеком, теоретизированная еще в «Теологии» Прокла.
¹⁶ Впервые была опубликована под названием ‘Computing Machinery and Intelligence’ в английском журнале ‘Mind’ в 1950 г.
¹⁷ Тьюринг А. Может ли машина мыслить? С приложением статьи Дж. фон Неймана «Общая и логическая теория автоматов». Пер. с англ. Ю.А. Данилова. Ред. и предисл. С.А. Яновской. Прим. Б.В. Бирюкова и С.А. Яновской. М.: Физматгиз, 1960. С. 47.
¹⁸ Тьюринг А. Может ли машина мыслить? С. 47.
¹⁹ Лузин Н. Н. Функция (в математике) // Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1988. С. 797-804. То же // Большая советская энциклопедия. Т. 59. М.: ОГИЗ, 1935.
²⁰ Парадоксу Диодора посвящена одна из глав «Дилемм» Г. Райла. См.: Райл Г. Понятие сознания. Пер. с англ. М.: Идея-Пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999. Главы из книги «Дилеммы». С. 370-400.
²¹ См.: Антаков С. М. Трансцендентально-логические модальности в исследовании оснований научного знания // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Серия Социальные науки. Вып. 1 (3). Н.Новгород: ННГУ, 2004. С. 341-353.
²² См.: Антаков С. М. Парадоксы Брауэра и антиномии чистого разума: Приближение к трансцендентально-логическому источнику интуиционизма // Вестник Нижегород. ун-та им. Н. И. Лобачевского. Серия Социальные науки. Вып. 1 (4). Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. С. 445-462.