Следующий ниже текст содержит 20,6 тысячи печатных знаков и знаков пробела. Я сократил его до оговорённых 7 тысяч знаков, чтобы послать в виде тезисов на Третью всероссийскую конференцию по философии математики (Москва, 27-28 сентября 2013). Тезисы имели название «Пример математической метафизики: математика, реальность и математический опыт». Небольшой начальный фрагмент, посвящённый связи опыта с реальностью, я в следующем ниже тексте опустил, поскольку его целью было лишний раз подтвердить выбор секции «Математика и реальность».
Математику можно рассматривать как вполне эмпирическую науку, имея в виду самое широкое понятие опыта, при котором математическим опытом являются хозяйственные вычисления древних вавилонян, землемерие древних египтян, манипуляции со счётными камешками древних пифагорейцев. Математический опыт может состояться и тогда, когда люди передвигают не камешки, а камни такие, как глыбы Стоунхенджа. Опыт, приобретаемый в любой деятельности, физической и умственной, поскольку она хотя бы отчасти осознаётся как математическая или служит выработке математического знания, является математическим опытом1.
Позитивная философия, восходящая к О. Конту2 и, далее, И. Канту3, видит в опыте фундамент научного знания. С этой точки зрения к опыту примыкает низший уровень знания – эмпирический, а высший уровень отводится теоретическому знанию. По выражению В.А. Лекторского, у Канта «знание совпадает с опытом», хотя при этом оно понимается Кантом ограничительно4. Противопоставляя опыт и знание, нужно вместе с тем сознавать их единство и относительность, условность границы между ними5. Опыт «низших»6 (чувственного и близких к нему) уровней во многом хаотичен, бесформен. По Канту, в таком опыте «материя чувственных созерцаний» уже оформлена априорными формами пространства и времени. Допустимо говорить и о вполне бесформенном, неупорядоченном опыте, имея в виду то, что Кант называет материей чувственных созерцаний. Будучи бесформенной, она не есть опыт и знание, но относится к знанию-опыту как их предел, или граница, которую можно включать в ограничиваемый континуум или исключать из него.
Неоформленность и многообразие первичного опыта таковы, что попытки дать его общие характеристики, такие как непротиворечивость и полнота, попытки осмыслить опыт, подведя его под систему строгих понятий, сталкиваются с апориями (парадоксами и антиномиями). К сожалению, Кант не видел, но мог бы видеть это, поскольку хотя бы история учений о свете должна была быть ему известна. В этой истории корпускулярная теория И. Ньютона конкурировала с волновой теорий Х. Гюйгенса. Как известно уже нам, спор о природе света нашёл своё относительное завершение в концепции дополнительности Н. Бора.
Ограничившись первоначальным не рефлексируемым7 опытом, мы не получим апорий, о таком опыте нельзя сказать, что он противоречив или неполон сам по себе. Таковым его делают попытки истолкования в свете знания (в частности, теоретического) как инструмента достижения практических целей. Наши высказывания об опыте, т.е. наше улавливание опыта в сеть наших понятий может породить видимость противоречивости и неполноты опыта.
Исходя из разных соображений, я называю указанное обстоятельство нелинейностью опыта относительно мышления (в частности, теоретического, требующего запрета противоречий). Последнее из таких соображений заключается в том, что рассматриваемое отношение между опытом и мышлением разъясняется простой математической (геометрической) моделью, или аналогией, или метафорой, в которой опыт представляется кривой, понятийное мышление об опыте – вписанной или описанной ломаной прямой. Один из мотивов принятия этого термина в метафизике – признанное значение категории нелинейности в естествознании и математике8. Достигая высшего уровня обобщения, я понимаю метафизическую нелинейность как «нелинейность» бытия относительно мышления. Парменидово тождество бытия и мышления я рассматриваю как «линеаризацию» («выпрямление») бытия, которой на уровне частного знания соответствует математико-физическая линеаризация (упрощение) естественнонаучного опыта.
Надо заметить по поводу принятия указанного нового термина, что использование математических аналогий в метафизике является законным и лучшим приёмом сделать метафизические идеи ясными и потому убедительными. Применение математики в философии (математизация философии) не исчерпывается логической дедукцией по образу спинозианской «Этики». То, что обычно считают математизацией философии, есть всего лишь её логизация. Математики убедительны благодаря своим теоремам, но в философии этот путь не ведёт к успеху. Есть иной, подлинно математический способ убеждения в философии – это математическое моделирование, аналогия.
Конечно, аналогия может приводить к ошибкам и в математике, и в физике, однако без неё научное познание было бы невозможным, что показывает, например, история стандартной модели Вселенной, одним из оснований которой стал закон красного смещения, открытый Хабблом. Не используя аналогию, невозможно было бы интерпретировать закон Хаббла с помощью эффекта Доплера, т.е. истолковать красное смещение как свидетельство расширения Вселенной.
Приведу несколько примеров нелинейности опыта. Проделав некоторые физические опыты со светом, мы можем сказать, что свет есть корпускулы. Проделав другие опыты, мы делаем заключение, что свет есть волны. Но мы при этом помним о том, что сказали раньше, – мы соединяем предложения «свет есть корпускулы» и «свет есть волны» («свет не есть корпускулы») и замечаем противоречие. Его можно было бы решить до всякой теории и не выдвигая концепцию дополнительности (или двойственной истины), а просто признав ограниченность логики (логического понятийного инструмента), ограниченность её притязаний на вневременность и повторяемость, к которой нас, помимо прочего, приучил воспроизводимый физический опыт. В таком случае мы могли бы сказать, что предложение «свет есть корпускулы» не должно образовать логическую конъюнкцию с предложением «свет есть волны» («свет не есть корпускулы»), так как первое сказано в другое время и, вообще, в другой ситуации, чем второе. А если бы мы выразили наши впечатления от опытов со светом в другой грамматической форме, могли бы по-другому (метафизически) избавиться от логического мнимого противоречия. Именно, можно сказать «свет является корпускулами» и «свет является волнами» и понимать глагол «является» не как связку, замещающую глагол «быть», а как выражение отношения между таинственной сущностью (причиной) и явлением (действием).
Другой пример той же нелинейности опыта относительно логического мышления возникает при попытках теоретизации (логизации и математизации) движения. Расскажу об этом предельно кратко. Противоречивость теоретизации выражается апориями Зенона. Движение – то, что нам дано в нашем опыте. Попытки выразить движение в логических или математических9 понятиях приводит к известным апориям (противоречиям). Относительно апорий может быть два знания или «теории». Согласно одной, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Согласно другой, Ахиллесу не надо делать и одного шага, чтобы догнать её (он всегда един с ней).
Отношение двух теорий может характеризоваться по-разному. Существенные виды такого отношения – противоречие (одна теория может противоречить другой) и несоизмеримость (как она понимается постпозитивистами), или неполнота. Действительно, теоретическое знание может быть неполным относительно другого знания, в частности, опытного. Иными словами, я выделяю два фундаментальных отношения между когнитивными единствами (знаниями любого рода), соответствующих двум фундаментальным характеристикам всякого научного знания – непротиворечивости и полноте. Они приложимы как к естественным, так и к историческим знаниям, но строгие определения их были получены только в математике и только в ХХ веке благодаря развитию метаматематики.
В качестве следующего примера можно заметить, что арифметика (натуральных чисел) неполна относительно элементарной геометрии, и это только иной способ сказать, что арифметика несоизмерима с геометрией. При этом название («несоизмеримость») отношения между стороной и диагональю квадрата (или других несоизмеримых отрезков) переносится на отношение между когнитивными единствами. Неполнота арифметики заключается в том, что отношения некоторых геометрических объектов (отрезков, фигур и др.) не могут быть выражены отношением натуральных чисел. Арифметическая реальность, наполненная числами, оказывается беднее, чем геометрическая реальность. Этот пример нелинейности (геометрического или топологического наглядного) опыта относительно теории (вычисляющего мышления) относится уже не к физике, а к математике. Я продемонстрирую относительность эмпирическо-теоретического различия, если вслед за этим скажу: опыт вычислений (измерений своего рода) и опыт собственно измерений породил две математические теории – арифметику и геометрию. С самой общей исторической и социальной точки зрения, это был единый опыт, но в свете двух теорий – арифметики и геометрии – обнаружилась фрагментарность этого математического опыта. Отношение между соответствующими фрагментами не есть отношение противоречия, но есть отношение неполноты (несоизмеримости). Если же говорить не об эмпирической, а о теоретической математике, то последняя, а именно, единая псефическая10 математика пифагорейцев, разделилась на теоретические арифметику и геометрию в ответ на «проблему иррациональности», поставленную пифагорейским открытием несоизмеримости11.
Наконец, есть ещё пример нелинейности обыденного опыта, относящийся к нашей оценке поведения той или иной личности. Наблюдая её в одной ситуации, мы наивно сделаем заключение о её доброте. В другой ситуации мы способны повесить на человека ярлык («сущность», «природу») «злой». Каков же он «на самом деле»? Этот вопрос можно представить и как проблему экзистенциальной философии, решающей её согласно тезису «существование предшествует сущности», аналогичную, как можно показать, физической проблеме корпускулярно-волнового дуализма, как она решается в копенгагенской интерпретации квантовой теории.
В связи с теоремой о несоизмеримости (иррациональности) – простым аналогом теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики12 – заметим аналогию (пропорцию): арифметика так относится к геометрии, как теория к эмпирии. Иным словами, моделью отношения между теорией и эмпирией является отношение арифметики к геометрии, выражаемое теоремой о несоизмеримости. Эта модель даёт дополнительную возможность тесно и очевидным образом связать теорему о неполноте Гёделя с дополнительностью Бора, а независимое доказательство их трансцендентального единства (я оставляю его за пределами данной публикации, которая не должна быть слишком длинной) сделает её ещё более убедительной. В самом деле, поскольку теоретические арифметика и геометрия могут развиваться независимо друг от друга, как это случилось после открытия несоизмеримости, хотя бы арифметика и была неполна относительно геометрии, теория и эмпирия уравниваются в правах в силу указанной аналогии. Если теория противоречит эмпирии, то не обязательно отбрасывать теорию, это противоречие можно рассматривать как парадокс, т.е. как нечто терпимое, такое, к чему нужно привыкнуть. Можно решить универсальное противоречие в духе борианской дополнительности, предложив считать, что теория даёт рациональный (умозрительный) аспект предмета, а эмпирия – его видимый (зримый) аспект13. Например, противоречие между предложениями «Свет есть волны и не есть корпускулы» и «Свет не есть волны, а есть корпускулы» решается признанием их наивно-догматического характера и заменой критически-усложнённым выражением как будто тех же (но тем самым уже и других) мыслей: «Свет является (нам) волнами при использовании нами спектрального анализатора» и «Свет является (нам) корпускулами при использовании нами счётчика корпускул (фотонов)». Теория теперь уравнивается в правах с эмпирией (хотя бы потому, что и осмысленный опыт может быть противоречив, как показывает парадокс корпускулярно-волнового дуализма), тогда как в классической рационалистической (и «позитивной») традиции эмпирия считалась её судьёй. Впрочем, у Парменида – наоборот, умозрение, не согласное с эмпирией, отвергает эмпирию как иллюзию. Концепция дополнительности, как и философия Канта, к которой она логически может быть возведена, уравнивает эмпирическое и рациональное начала познания. Вопрос о том, почему свет имеет такие противоположные, несовместимые «проекции», как волны и корпускулы, объявляется в рамках концепции дополнительности некорректным, поскольку он не имеет ответа, так как «свет в себе» (свет, как он есть сам по себе) непознаваем. Нельзя спрашивать о непознаваемом, – такова модификация Парменидова запрета противоречия, запрета, оправдываемого тем, что вопрошание о непознаваемом ведёт к противоречиям (противоположным ответам).
Таким образом, эмпирия (физический опыт), его нелинейность, вывела свет из области имманентного в область трансцендентного, из области собственно научного в область метафизического, что можно представить как частичный возврат к средневековой «метафизике света». Оправдание этого шага – разрешение парадокса дуализма света. Так и противоречивость, неудовлетворительность жизненного (социального) опыта Платона привела его мышление к «прорыву» в трансцендентный мир. Иными словами, релятивизм, который софисты обосновывали противоречивостью чувственного опыта, привёл к своей противоположности – абсолютизму (и идеализму). Схема этого «прорыва» та же, что в онтологическом аргументе Ансельма, гипостазировавшего Бога, и Канта, положившего объективную иррациональную «вещь в себе» вне феноменального мира (мира сознания). Вполне обоснованным было бы заявление: Кант в своей Первой «Критике» по-своему выразил глубокую мысль, ровно через 150 лет повторённую Гёделем в отношении только арифметического знания. Кант по существу утверждает её в отношении всякого научного (теоретического) знания: (если) такое знание непротиворечиво, (то) оно неполно – ограничено извне метафизикой и метафизической истиной веры. Он решает антиномии чистого разума, гипостазируя непознаваемую «вещь в себе»14 (которая ни вещью, ни даже предметом, конечно, не является), однако именно это (Антиномия) служит неявным и нефундаменталистским обоснованием её гипостазирования.
Та же схема незримо присутствует и в общепринятой интерпретации теоремы о неполноте Гёделя («формальная арифметика неполна»), ибо переход к недоказуемой истине, по существу являющийся актом веры (веры в непротиворечивость арифметики и, следовательно, истинность предложения Гёделя), подобен гипостазированию Бога в моей интерпретации онтологического аргумента. В обоих случаях появляется трансцендентный объект (субъект15), своим бытием примиряющий и порождающий имманентные противоречия16. В примере со светом механизм устранения логической противоречивости опыта даётся борианской (кантианско-борианской) концепцией дополнительности.
1 Вообще опыт можно понимать так, как это делают сторонники прагматизма – как поток (содержания) сознания. вернуться к тексту
2 Когда Конт пишет «Все наше знание происходит из опыта, им ограничивается, и выйти за его рамки невозможно», он обнаруживает в себе кантианское влияние. вернуться к тексту
3 К Канту возводится не только позитивная, но и «негативная» (экзистенциальная) философия. вернуться к тексту
4 Лекторский В.А. Опыт // Новая философская энциклопедия http://iph.ras.ru/elib/2194.html. Полная цитата: «В философской системе Канта знание совпадает с опытом. Мысленные образования, предмет которых не может быть включен в систему опыта, в частности идеи Бога, трансцендентального Я, мира в целом, не могут претендовать на знание (хотя эти идеи и играют важную роль в познании и нравственной деятельности). Вместе с тем понимание опыта у Канта весьма отлично от эмпиристского». вернуться к тексту
5 См.:
Коген Г. Теория опыта Канта / Пер. с нем. В.Н. Белова. М.: Академический Проект, 2012. 618 с.
Пома А. Критическая философия Германа Когена / Пер. с ит. О.А. Поповой. М.: Академический Проект, 2012. 319 с.
Гутнер Г.Б. Форма и содержание опыта // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Изд-во МГУ, 2003. С. 435-467. вернуться к тексту
6 «Низших» – если согласиться с позитивистами и эмпиристами, ставящими опыт ниже знания, хотя это совсем не обязательно. вернуться к тексту
7 «Согласно Э. Кассиреру, рефлексия заключается в «способности выделять из всего нерасчленённого потока чувственных феноменов некоторые устойчивые элементы, чтобы, изолировав их, сосредоточить на них внимание» [Кассирер Э. Избранное. Опыт о человеке. М., 1988. С. 486]» (http:// ru.wikipedia.org/wiki/Рефлексия#cite_ref-Kassirer0_1-0). вернуться к тексту
8 Подтверждением последнего может служить диссертация В.И. Сырова «Линейное и нелинейное как общенаучные категории» и его публикация: Сыров В.И. Физика нелинейных явлений и современный детерминизм. http://filosofia.ru/70541/. вернуться к тексту
9 Как заметили Г. Вейль, Д. Гильберт и П. Бернайс, вопреки расхожему мнению математический анализ (суммирование бесконечных рядов) не решает апории Зенона вроде «Дихотомии» и «Ахиллеса». вернуться к тексту
10 От греческого «псеф» – счётный камешек. Первые пифагорейцы складывали из них числа, характеризуемые не только количеством, но и геометрической (например, треугольной) формой. вернуться к тексту
11 См.: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Изд. 2-е. Пер. с нем. и доп. И.Б. Погребысского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. вернуться к тексту
12 Эту аналогию я могу обосновывать, что необходимо ввиду того, что, например, известный знаток теоремы о неполноте Гёделя, давший её теоретико-вычислительное доказательство, В.А. Успенский в нашей краткой переписке с ним (21–24 июня 2011) её отрицал. Мои аргументы остались ему неизвестными, поскольку он ими не интересовался. вернуться к тексту
13 К подобной редкой интерпретации учения Парменида склоняется А.Ф. Лосев. См.: Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. Изд. 2-е, испр., доп. М.: Ладомир, 1994. С. 301-312. вернуться к тексту
14 То, что Кант решает антиномии чистого разума именно указанным образом, можно подтвердить прямым указанием на это В.Ф. Асмуса (Асмус В.Ф. Диалектика в философии Канта // Асмус В.Ф. Избранные философские труды. Т. 2. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1971. С. 59-76), чья ясная интерпретация кантианства в своё время существенно облегчила мою работу. вернуться к тексту
15 Предложение Гёделя я рассматриваю как формальную модель субъекта – «лжеца» из антиномии лжеца. Это согласуется с интерпретацией кантианской «вещи в себе» как субъекта, возможность чего утверждалась Н. Бердяевым (Бердяев Н.А. Проблема познания и объективация // Кант: pro et contra. Рецепция идей немецкого философа и их влияние на развитие русской философской традиции. Антология / Сост. А.И. Абрамов, В.А. Жучков. Предисл. и комм. В.А. Жучков. СПб.: РХГИ, 2005. С. 687-709). вернуться к тексту
16 Согласно модели К. Поппера, знание развивается благодаря тому, что субъект знания разрешает перманентно возникающие противоречия (апории), которые, в свою очередь, возникают по причине развития знания, субъектом которого (развития) является тот же субъект. Правда, Поппер выражает эту здравую мысль иным языком, он не говорит о субъекте знания и остаётся в рамках «позитивной» (эмпиристской) эпистемологии. За «контекстом открытия», от рассмотрения которого Поппер принципиально отказывается, кроется именно субъект познания. Обращаясь исключительно к «контексту обоснования», Поппер и обнаруживает позитивистский характер своей методологии. вернуться к тексту
Последние комментарии