Всякое значительное изобретение, оказавшее глубокое и длительное воздействие на культуру и преобразившее ее, подобно изобретению колеса. И всякое подобное изобретение – результат не столько опыта, сколько мышления, по необходимости связанного с опытом (мышлением своего рода), сознательного или несознаваемого. Именно потому, что математика, при надлежащем и обоснованном ее понимании, есть чисто умозрительное знание, получаемое из мышления, предметом которого является мышление, изобретение колеса было чисто математическим, но все же не самым важным, изобретением. Великий Математик творит вселенные!

  Фотография сделана Rickydavid.

Приведу еще два примера изобретений, математический характер которых ещё более очевиден: позиционную систему счисления (ПСС) и фонетическую систему письменности (ФСП).

Изобретение ПСС – яркое подтверждение деятельностной (трансцендентально-прагматической) концепции математики, согласно которой подлинным предметом математики являются не числа и фигуры (Энгельс); не бесконечное (Г. Вейль); не абстрактные отношения (Кассирер), далекие от жизни; не тому подобные предметы, а несводимая вполне к предметам деятельность над числами, фигурами, бесконечными множествами и т.п., деятельность, то есть жизнь, то есть мышление.

Идея ПСС есть, по существу, идея иерархии, иерархического управления, иерархической организации, найденной как будто эмпирически, в древнейшей практике общественной самоорганизации, но так же несомненно – теоретически, как основная черта культивированной Платоном «позитивной» диалектики – иерархической системы категорий, охватывающей универсум и изображаемой «древом Порфирия» (бинарным математическим деревом, тождественным дереву позиционного счета с основанием 2), и мыслительных переходов между ними – дедуктивных разделений-диэрез и индуктивных сведéний-синагог. Структурное тождество идей иерархической общественной организации и платонической диалектики было своеобразно выражено К. Поппером в форме осуждения Платона (кстати, и Гегеля) как теоретика «тоталитаризма».

В узко технически понимаемом математическом знании обсуждаемая идея обнаруживается прежде всего в изобретении ПСС. Это и показывает лишний раз, что философия Платона (кстати, и Гегеля) есть математическая философия. О глубокой метафизичности (диалектичности) идеи ПСС косвенно говорит история термина «цифра». Решающий математический и метафизический прорыв совершили индийские мыслители, понявшие необходимость нового арифметического знака, обозначающего отсутствие в некоторых местах («разрядах») записи числа каких бы то ни было старых знаков. Такой знак, выражающий отсутствие реального как реальное присутствие чего-то иного, то есть реализующий нереальное элементарным математическим актом, был введен ими и назван санскритским словом «сунья» («шунья»), что значило «пустой», «пустота». Арабы, которые на самом деле не были изобретателями «арабских цифр», перевели этот термин, руководствуясь его смыслом, и получили слово «сифр». Отсюда и произошло известное нам слово «цифра». В европейской литературе оно означало первоначально нуль, а в XV веке им стали называть все числовые знаки².

Идея ПСС есть идея монистического упорядочивающего универсализма, соединяющая начала единства и множества двусторонней связью, которую можно характеризовать, в частности, как дедуктивно-индуктивную. Это идея потенциально бесконечной уточняемости измеряемого количества и фундаментальный принцип любой сложной деятельности, с успехом применяемый как при строительстве египетских пирамид, так и при создании самолетов и компьютеров. Верно то, что никто не видел все 100000 деталей современного самолета и не знает каждого из 10000 руководителей фирм-подрядчиков, участвующих в его создании. Тем не менее, люди строят самолеты и пишут сверхсложные компьютерные программы, содержащие миллиарды команд, с помощью метода, новизна которого обманчива: так же никто не был знаком со всеми 100000 рабами, строившими пирамиду, но пирамиды строились.

Поясню действие этого метода на простейшем примере. Можно выбирать песчинки из кучи песка одну за другой, считая их, то есть «знакомясь» с каждой по отдельности; можно взвесить весь песок с помощью граммовой гирьки. Но если песчинок так много, что пересчитать их указанным методом практически невозможно, их вычерпывают ложкой или лопатой или измеряют их вес килограммами, тоннами и т.п. (Я пользуюсь здесь правом смешивать счет с измерением в силу их сущностного тождества. Кстати, греческое meros значит часть, доля, дробь; имеющее тот же корень русское «измерение» имеет значение счета частей измеряемого предмета). Индивидуальность отдельных песчинок для математика-исчислителя при этом утрачивается, о чем он может сожалеть или не сожалеть.

В этом примере заключен прообраз решения проблемы растущей сложности везде, где она появляется. Прогресс организационной технологии предстает здесь в виде ряда все более крупных, мощных единиц счета (измерения) и, соответственно, все более крупных измерительных инструментов («весов»). Примером измерительного инструмента может служить хотя бы землекоп с лопатой.

Форма этого метода в чистом и универсальном виде представлена именно в идее ПСС. Выражу ее также с помощью чисто математического языка на примере десятичной системы счисления. Когда предметов-частей мало, их считают единицами. Когда предметов становится больше, их считают десятками, то есть образуют новые предметы, называемые десятками, и пересчитывают эти новые предметы по-прежнему, единицами (один, два, три и т.д.). Когда десятков становится слишком много, их объединяют в новые десятки и считают уже десятками десятков, то есть сотнями. Затем – тысячами, миллионами и т.д.

Счет есть модель любых серийных действий, а проблема любой сложной деятельности редуцируется к проблеме счета. История культуры даёт этому дополнительное подтверждение, показывая, что все организационно-хозяйственные проблемы всегда сводились к вычислительным задачам, решение которых было условием решения первых. Подлинной математической революцией стало изобретение ПСС, позволившее быстрее считать и вычислять. Ей предшествовала революция, заключавшаяся в изобретении ФСП; третьим прорывом было изобретение машины (вот где пригодилось изобретение буквального, не фигурального колеса!), завершившееся созданием универсальной машины, которую также называют вычислительной, или математической, и которая в своем электронном воплощении, называемом компьютером, является не только универсальным ускорителем времени, «колесницей прогресса», но и, что важнее, универсальным языком, продуцирующим все возможные значения (иными словами, все возможные – виртуальные! – вселенные). Последнее справедливо для любой воплощённой универсальной машины, будь то солнечная, водяная, собственно механическая, электронная, фотонная или живая, основанная на использовании дешевого рабского труда. Вклад в это изобретение в части «железа», hardware, сделали математическая механика, именно, «механика» (физика) твердого тела (чиповая материя «железа»), и математическая логика (архитектурная форма «железа»), а в части «мякоти», software, программного обеспечения – только математическая логика, то есть, как можно показать, те же ФСП и ПСС!

В идее ФСП нет концептов иерархичности и точности (уточняемости). Это идея анализа речи, ее деления на части вплоть до получения неделимых звуковых элементов-фонем, которых оказывается совсем немного и которые письменно выражаются в виде букв алфавита. Более того, это идея анализа как такового, сведения сложного к простому и изменчивого к неизменному. Эта плодотворнейшая идея является образцом анализа материи (содержания) любого мыслимого предмета и лежит в основе концепций физического атомизма Демокрита (что неустанно подчеркивали сами атомисты) и математического атомизма Платона, а следовательно, алхимии, химии и современной физики.

  Фотография с сайта hi-tech.mail.ru.

О практичности отдельных изобретений и о научно-техническом прогрессе в целом я сказал уже достаточно много. Пора выяснить их метафизический смысл. Две системы, грамматическая (фонетически-алфавитная) и арифметическая (цифровая), суть две диалектические ступени в развитии Системы (Логоса, Идеи, Формы), ступени овладения материей (ее оформления, или просветления, или реализации), соответственно, более экстенсивная и более интенсивная. Идея ФСП является идеей (то есть формой, но формой первичной, предварительной) организуемой материи, тогда как идея ПСС есть идея (форма, но уже высшая – форма форм) организующей формы.

Под материей я понимаю здесь некий активный беззаконно-творческий принцип (поэтому и называю ее тёмной), нуждающийся в реализующем его дисциплинировании (ограничении, направлении), то есть несамостоятельный, способный к дисциплинированию лишь в результате внешнего принуждения. Страх быть классифицированным, поименованным, сосчитанным, переписанным есть страх утраты свободы, характерный для человеческого материала и, возможно, неизвестный «обладающему свободой воли» электрону, завершающему свой полезный жизненный путь на фотографической пластинке, или реализующейся актом вооруженного наблюдения виртуальной частице, порожденной «кипящим» физическим вакуумом, современное представление о котором – образ того самого Ничто, которое есть чистая и абсолютно темная материя и из которого все мы, в конечном итоге, вышли и в которое, стало быть, вернемся.

Соотношение ФСП и ПСС может служить моделью соотношения грамматики (первой дисциплины средневекового тривиума – тройки словесных «искусств», в которую входили еще риторика и диалектика, она же логика) и арифметики (первой дисциплины квадривиума – четверки математических «искусств», содержавшей еще геометрию, астрономию и музыку) или, вообще, гуманитарного знания (истории) и математики, или математического естествознания. Эта модель хороша тем, что обнаруживает диалектическое отношение первого и второго, – отношение не только противоположности, как то было у В. Дильтея и неокантианцев-баденцев, но и единства. Начну разъяснение высказанной мысли со следующего простого примера.

Слова «яблоко» (имя вещи) и «1984» (имя числа) оба имеют смысл и оба состоят из неделимых элементов – букв или цифр (вместо цифр можно, как греки, использовать буквы алфавита), но смысл этих слов различен и, главное, принципиально различны процедуры их осмысления (понимания). «Гуманитарные» слова (имена) воспринимаются как гештальты, иероглифы, одномерные картинки, сложенные из букв – элементов мозаики. Смысл имеют лишь некоторые комбинации этих элементов, и смысл слова не складывается из смыслов отдельных букв, он присущ лишь слову как семантически неделимому целому. «Математическое» слово состоит из цифр или букв, имеющих значение цифр, и осмысляется путем анализа и осмысления этих его элементов по отдельности, причем осмысляемы любые комбинации элементов. Эти, «математические», слова имеют глубинный смысл, открываемый постепенно вычислительной процедурой (деятельностью), тогда как смысл «гуманитарных» слов открывается подготовленному сознанию сразу (или не открывается вообще).

Одно и то же слово можно прочитать как «гуманитарное» (имеющее своим значением предмет) и как «математическое» (имеющее своим значением особый предмет – число). «Гуманитарный текст» как последовательность «гуманитарных» слов уже не воспринимается как иероглиф, хотя и он является одним словом (если угодно – супер-словом), в котором пробелы («шунья») между исходными словами заменяются особой буквой, равноправной с буквами исходного алфавита. Значение такого слова-текста «вычисляется» по мало сознаваемым алгоритмам, подобным арифметическим. Выявление, теоретическое воссоздание этих алгоритмов стало задачей так называемых трансформационно-генеративной грамматики и трансформационно-генеративной семантики, концепцию которых разработал в 1950-х гг. американский лингвист Н. Хомский. Еще раньше, с 1930-х гг., в том же направлении своим оригинальным путем продвигался польский логик К. Айдукевич. В целях исследования понятий перифразы и перевода он выдвинул концепцию искусственного позиционного языка, основанную на идее синтаксического места. Подобная теория может претендовать на роль связующего звена между (математической) логикой и семиотикой в их современном эмпирически данном состоянии разобщенности. Провести же четкую теоретическую границу между ними, естественно, не удаётся³.

Это соответствует намерениям отцов-основателей семиотики. Так, Ч. Моррис ставил перед ней задачу унификации наук о знаках (математики, логики, риторики, лингвистики и, конечно, эстетики) путем прояснения их общего фундамента. Семиотика была призвана способствовать скорейшей передаче идей от одной дисциплины к другой и анализировать на метанаучном уровне те понятия, которые используются в разных дисциплинах, осуществляя таким образом унификацию значения этих понятий. По оценке Е. Пельца, семиотика даёт представителям различных дисциплин возможность разрушить непроницаемые перегородки между их узкоспециальными сферами⁴.

Отделение семиотики от логики, вообще-то невозможное, может быть оправдано только в некоторых частных контекстах, например, в следующем. Язык ПСС был, вероятно, первым искусственным и полным относительно своих целей языком. Если арифметика непротиворечива, то никакие двусмысленности, связанные с его использованием, невозможны. Семиотика здесь вырождается в логику. В метаматематической теореме Гёделя о неполноте формальной арифметики, однако, двусмысленность появляется и разрешается на метатеоретическом неформальном уровне путем «семиотического расщепления» (понятия) истинности на материальную истинность и формальную истинность (доказуемость). Противоречие, выталкиваемое логикой за свои пределы, попадает в сферу компетенции семиотики, которая истолковывает его как семиотическое расщепление значения выражения, то есть как двусмысленность или полисемию, и считает это явление естественным.

Достаточно строгое и аргументированное изложение этих рассуждений окажется в точности математическим. Так разве семиотика, претендующая на роль метаматематики (следовательно, и метанауки), есть что-то отличное от математики (и от логики)? К сему можно добавить нечто хорошо известное специалистам: так называемая метаматематика является полноправной частью математики.

На известном историческом этапе, после того как в самом начале Нового времени в математику вошел специальный математический язык – символический, или «аналитический», язык формул, – «гуманитарные тексты» (в первую очередь алгебраические уравнения, какими они были до изобретения специальной символики) стали превращаться в специальный предмет математической деятельности. Результатом развития этой тенденции к ассимиляции математикой грамматики было появление «неметрической», «структурной» математики – алгебры, алгоритмики, теории моделей и др. Мысль о том, что для разработки проблем гуманитарного познания требуется некая принципиально новая, еще не созданная математика или логика, стала ложной, самое позднее, в момент появления теории категорий (1940-е гг.), язык которой уже сегодня используется почти во всех областях математики, а в алгебре, алгебраической топологии и алгебраической геометрии является основным.

За разъяснениями лучше всего обратиться к тексту С. Мак-Лейна, философствующего математика и одного из создателей теории категорий и самой математической категории «категория»: «…математика правильна, и причина этого… в том, что имеется глобальная корректность; математические утверждения тесно связаны со всей математикой в целом, с другими науками и человеческой деятельностью вообще. …Объекты, изучаемые математикой, весьма тесно связаны многими разнообразными и запутанными способами с насущными проблемами научного знания и человеческой деятельности. …Математика в действительности есть исследование закономерных связей различных дисциплин и их взаимоотношений с другими областями человеческого знания. Изучение этих черт математики – вопрос не формальной логики, а глубокого исследования природы математики и взаимосвязей ее частей»⁵.

Выраженная в этих словах мысль о безусловном приоритете математики не только как знания, но и как деятельности, содержит в себе неявную идею циркулярного обоснования знания, радикальная неклассичность которой, однако, не бросается в глаза, ибо скрыта за ее кажущейся если не банальностью, то, во всяком случае, привычностью. Действительно, эта диалектическая идея глобальной систематики хорошо нам знакома и в Новое время высказана устами «абсолютного философа» Гегеля, в высшей степени математического философа и, согласно аргументированной позиции Т. Рокмора, «эпистемологического циркуляриста»⁶.

По некоторым причинам, Гегель не был признан в среде математиков и естествоиспытателей (тогда как Платон, тоже не будучи математиком, в свое время пользовался среди них величайшим и непревзойденным авторитетом и влиянием). Введенный Гегелем системный стиль мышления удерживался в гуманитарном знании непродолжительное время, а в естествознании и математике вообще не был замечен и оказался переоткрытым в ХХ веке: в естествознании – под знаменем «системного движения» (в него можно включить, наряду с тектологией, системологией, общей теорией систем и т.п., кибернетику и синергетику), в математике – сначала в виде классической программы теоретико-множественной перестройки математики (Н. Бурбаки), позднее – аналогичной неклассической теоретико-категорной программы. Здесь, то есть в науках, считающихся негуманитарными, направленность на абсолют превалировала над противоположной, релятивистской тенденцией, питавшейся открытием неевклидовых геометрий во второй половине XIX века, которое было открытием плюрализма частных математических систем там, где ожидалась единственная система. Так, под шум громких философско-математических споров о соотношении логики и математики, Наука логики незаметно вырастала в Науку математики.

Иной была ситуация в гуманитарном знании того времени. Структуралистский абсолютизм, столкнувшись с подобным же плюрализмом частных структур, быстро сменился постструктуралистским релятивизмом и «постмодернистской» войной с логической (умственной) дисциплиной, ведóмой под лозунгом противостояния якобы вредному «логоцентризму».

Борьба разума с нынешним «гуманитарным» безумием, борьба платоновской традиции математической философии с софистической (гуманитарной) антитрадицией актуальна и является очередным, бесконечно малозначащим в космологической перспективе, эпизодом тотальной войны за полное просветление (уничтожение) материи.

Но так замыкается Кольцо Времен, кольцо самопорождения, то есть самообоснования, Разума.

¹ Нижеприведённый текст незначительно отличается от статьи: Антаков С. М. Два колеса колесницы прогресса, изобретенные математикой // Наука и повседневность. Основания науки в цифровом обществе. Материалы IV межвуз. науч. конф. 3-5 дек. 2001 г. Вып. 4. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. С. 37-45.
² Александрова Н. В. Математические термины. М.: Высшая школа, 1978. С. 160-161.
³ Пельц Е. Семиотика и логика // Семиотика: Антология / Сост. Ю. С. Степанов. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Академический Проект; Екатеринбург: Деловая книга, 2001.
⁴ См. там же.
⁵ Мак-Лейн С. Математическая логика – ни основания, ни философия // Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М. И. Панов. М.: Наука, 1988. С. 149.
⁶ См.: Рокмор Т. Гегелевская циркулярная эпистемология как антифундаментализм // Историко-философский ежегодник. 1991. М.: Наука, 1991. С. 190-204; Рокмор Т. Гегель, немецкий идеализм и антифундаментализм // Историко-философский ежегодник. 1994. М.: Наука, 1995. С. 69-85; Рокмор Т. Математика, фундаментализм и герменевтика // Вопросы философии. 1997. № 2. С. 82-92.