Теорема Гёделя о неполноте, антиномия лжеца и основания субъективной диалектики

06. апреля 2010 · 8 комментариев · Categories: Трансцендентально-математическая философия · Tags: , , ,

Авторы, обращающиеся к теореме (теоремам) Гёделя о неполноте, более или менее точно пересказывают её, а иногда и идею её доказательства. Последняя при этом неправомерно сводится к идее гёделевой нумерации. Подлинная идея доказательства теоремы проста и с философской точки зрения более значительна, но остаётся неявной, а всё внимание переносится на второстепенную и подчинённую идею, служащую сложным техническим средством для реализации первой. Мысль о том, что в основе доказательства Гёделя лежит преобразованная антиномия лжеца, высказывается ещё реже и не разъясняется должным образом.

Теорема Гёделя говорит о формальной арифметике в терминах непротиворечивости и полноты, которые можно определить для любой формальной системы известным образом. Система непротиворечива, если не позволяет доказать ни одного ложного предложения, и полна, если позволяет доказать все истинные предложения, написанные по её правилам. Центральным пунктом Гёделева доказательства является демонстрация так называемого предложения (формулы) Гёделя G. Оно появляется за пределами арифметики чудесным образом, в силу безграничной творческой способности языка, и выражает собственную недоказуемость. Его смысл передаётся неформальным предложением «Я – недоказуемое предложение». Иными словами, G есть предложение «Предложение G недоказуемо». Удивительным образом «G» равносильно «G недоказуемо».

Можно представить, что идея доказательства заключается в рассмотрении альтернатив «G доказуемо» и «G недоказуемо». Если G доказуемо, то G ложно, поскольку говорит о собственной недоказуемости. Но если G доказуемо и ложно, то арифметика противоречива. Ну а если G недоказуемо, то G истинно, так как и утверждает собственную недоказуемость. Тогда арифметика неполна. Истинна первая либо вторая альтернатива. Так получается дизъюнктивная формулировка теоремы Гёделя: (формальная) арифметика противоречива либо неполна. Если первая альтернатива ложна, то вторая истинна. Эта даёт одну из четырёх возможных импликативных формулировок, самую известную: если арифметика непротиворечива, то она неполна.
More »

Два колеса колесницы прогресса, изобретенные математикой (фонетическая система письменности и позиционная система счисления как математические образы истории и математики)1

16. февраля 2009 · Write a comment · Categories: Математическая философия истории · Tags: , , , , , , , , , , ,

Всякое значительное изобретение, оказавшее глубокое и длительное воздействие на культуру и преобразившее ее, подобно изобретению колеса. И всякое подобное изобретение – результат не столько опыта, сколько мышления, по необходимости связанного с опытом (мышлением своего рода), сознательного или несознаваемого. Именно потому, что математика, при надлежащем и обоснованном ее понимании, есть чисто умозрительное знание, получаемое из мышления, предметом которого является мышление, изобретение колеса было чисто математическим, но все же не самым важным, изобретением. Великий Математик творит вселенные!

Колесница

There is a Creative Commons license attached to this image. AttributionNoncommercialNo Derivative Works  Фотография сделана Rickydavid.

Приведу еще два примера изобретений, математический характер которых ещё более очевиден: позиционную систему счисления (ПСС) и фонетическую систему письменности (ФСП).

Изобретение ПСС – яркое подтверждение деятельностной (трансцендентально-прагматической) концепции математики, согласно которой подлинным предметом математики являются не числа и фигуры (Энгельс); не бесконечное (Г. Вейль); не абстрактные отношения (Кассирер), далекие от жизни; не тому подобные предметы, а несводимая вполне к предметам деятельность над числами, фигурами, бесконечными множествами и т.п., деятельность, то есть жизнь, то есть мышление.

Идея ПСС есть, по существу, идея иерархии, иерархического управления, иерархической организации, найденной как будто эмпирически, в древнейшей практике общественной самоорганизации, но так же несомненно – теоретически, как основная черта культивированной Платоном «позитивной» диалектики – иерархической системы категорий, охватывающей универсум и изображаемой «древом Порфирия» (бинарным математическим деревом, тождественным дереву позиционного счета с основанием 2), и мыслительных переходов между ними – дедуктивных разделений-диэрез и индуктивных сведéний-синагог. Структурное тождество идей иерархической общественной организации и платонической диалектики было своеобразно выражено К. Поппером в форме осуждения Платона (кстати, и Гегеля) как теоретика «тоталитаризма».
More »